Rendszeres hibák
AZ EREDMÉNYEK FELDOLGOZÁSÁNAK ALAPJA
MÉRÉSEK MÉRÉSI ÉS HIBÁJA
Minden fizikai laboratóriumi munkában a diák egy vagy több mennyiséget méri. A mérést közvetlenül nevezzük, ha a mért mennyiség közvetlenül összehasonlításra kerül a standarddal. Az ilyen összehasonlítás, mint szabály, egy mérőeszköz segítségével történik. Például a test hosszát mikrométerrel vagy féknyeréssel mérik, az áramot ampermérővel mérik stb. A közvetett mérés eredménye közvetlen mérésekkel kapott mennyiségek ismert funkciója. A közvetlen mérés folyamán egy sor x1 megfigyelést kapunk. x2. .... x mérete x. Az egyes megfigyelések eredményei mérési hibákat tartalmaznak, és további feldolgozást igényelnek. A hibák típusai: véletlenszerűek, szisztematikusak, hiányoznak.
Véletlen hibák jelenlétében az x mérő xk különálló megfigyelésének eredménye egy véletlen változó. Ebben az esetben az x1 megfigyelések eredményei. x2. .... x azonos mennyiségű xn különböző. A mérés eredményeként a megfigyelések eredményeinek számtani középértékét veszik figyelembe:
A n® ¥ mérési eredményének határát m: matematikai várakozásnak nevezzük m:
Az x véletlen változó, amely egy külön megfigyelés eredménye, meghatározható az f (x) eloszlási függvény segítségével (valószínűségi sűrűségfüggvény):
ahol dP egy valószínűségi változó valószínűsége, hogy az intervallumba esik
(x, x + dx) a szélesség dx.
Ha a véletlen változó nagyszámú szabályozatlan változó okból függ, akkor engedelmeskedik a Gauss normális eloszlásának vagy eloszlásának. Az x véletlenszerű változó Gaussian eloszlásfüggvényét matematikai várakozással m írja le a képlet:
hol van az eloszlás varianciája. Az értéket a szórás vagy a gyökér-átlag-négyzet eltérésnek nevezzük. A Gauss eloszlásfüggvény grafikonját az 1. ábra mutatja.
Az (1.3) képlet figyelembe vételével az x megfigyelés eredményének P valószínűsége az (x1, x2) intervallumban megegyezik
Vegyünk egy olyan intervallumot, amelynek közepén m egy matematikai várakozás, és a félszélesség egyenlő
hol van egy szám. Az olyan valószínűségi P valószínűségi változó megfigyelése, amely egy normál eloszlást tesz lehetővé egy ilyen intervallumban, a következő képlet segítségével adható meg:
Az integrálszámítás (1.6.) Számítása azt mutatja, hogy mikor
kP = 1,0 valószínűség P = 0,68, azaz A megfigyelések eredményeinek 68% -a a () intervallumon belül helyezkedik el. Ennek megfelelően a kP = 2,0 esetén P = 0,95, és kP = 3,0 esetén a P = 0,997 valószínűség.
Tegyük fel, hogy a véletlen hibák jelenléte arra a tényre vezet, hogy a mért mennyiség x megfigyelésének eredménye megfelel a normál eloszlásnak. A kísérletező nem ismeri az eloszlás m és s paramétereit. A mérés során n megfigyeléseket kapunk: x1. x2. .... xn. azaz szerezzen be néhány értéket az x értékekről az elfogadható értékek általános csoportjából. A mérés eredményének meghatározása az (1.1) képlet segítségével, egy mintabecslést találunk m. A megfigyelési eredmények normál eloszlásának diszpergálásáról szelektív becslést kapunk
ahol S (x) a megfigyelési eredmény szórásának mintabecslése; n a megfigyelések száma.
Ha az x különálló megfigyelés eredménye véletlenszerű mennyiség, amely normális eloszlásnak felel meg a D (x) varianciával, akkor a mérés eredménye. (1.1) képlet szerint definiált normál eloszlás is megfelel. Ennek megfelelően a mérési eredmény standard deviációjának mintabecslése:
Elméletileg, látható, hogy az egyes valószínűségi P (konfidencia intézkedés) lehet építeni egy megbízhatósági intervallum (), hogy a várható egy véletlen X változó m lesz ezen belül intervallum valószínűséggel P. A fél-szélessége a konfidencia intervallum által meghatározott képlettel:
ahol az S () az (1.8) képlet alapján található, a a Student együtthatója, amelynek értéke függ a P valószínűségtől és a szabadsági fokok számától n (lásd a függelék táblázatot). Az n szabadsági fokok száma az n megfigyelések számához kapcsolódik a képlet szerint :. Megmutatható, hogy az (1.5) képletben az együttható
Ha csak véletlenszerű hibák vannak, mérési eredményt rögzítenek :.
Néhány rendszeres hiba nagysága elméletileg vagy kísérletileg meghatározható. Az ilyen becsléseket korrekcióknak nevezik. A megfigyelések eredményeit a korrekciók nagysága korrigálja.
De vannak olyan szisztematikus hibák (például a mérőeszköz hibája, kerekítési hiba stb.), Amely nem található módosítás formájában.
A mérőeszköz hibája a d korlátozó vagy abszolút hiba vagy a relatív hiba g (a műszer pontossági osztálya). Az eszköz g pontossági osztálya az eszköz d százalékos hibaaránya a mért érték xmax maximális értékének százalékában kifejezve:
.
Különösen az elektromos mérőműszerek esetében nyolc pontossági osztály van: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,5; 4.0. Ezért az abszolút hiba határértéke:
.
Így a készülék hibája a d korlátozó értékének formájában van megadva.
Normális eloszlás esetében az x értékének megfigyelésének valószínűsége, amelynél> 3s 0,3%, azaz. A 3s eltérés az átlagtól 3s = d értéknek tekinthető.
Ezután az (1.5), (1.10) és (1.11) képletek figyelembevételével az eszköz szisztematikus hibájának konfidenciaintervallumának szélessége a következő formában írható:
A mérés kerekítési hibát okoz. Ha a mérleg skála értéke h, akkor a kerekítési hiba h / 2. Megmutatható, hogy a kerekítési hibához kapcsolódó konfidencia intervallum félszélességét a képlet határozza meg
ahol P a bizalmi valószínűség.
Bizonyos esetekben a mérési hiba a kísérlet szubjektív reakciójával függ össze. Például időintervallum mérésekor a manuális stopperóra hibát okoz a kísérletező reakció késleltetése miatt. Megmutatható [5], hogy a szubjektív reakció standard deviációja a.
Az (1.5) képlet szerint a konfidenciaintervallum félszélessége
A hibák a mérőműszer súlyos hibái vagy a mérőműszer meghibásodása miatt következnek be. Ezekben az esetekben a megfigyelés eredménye általában eltér a többi eredménytől, melyet a hibák észlelésére használnak. A legegyszerűbb módszer a "3s szabály" vagy a "3S () szabály".
Ha az eredmény az egyetlen megfigyelés egy véletlenszerű változó, amely eleget tesz a normális eloszlás, a valószínűsége megjelenése a megfigyelésének eredményeként eltérő elvárás m-nél nagyobb értékre 3s, ez a P = 0,0027. Ezért valószínűbb, hogy egy ilyen megfigyelési eredmény megjelenése hibás. Az m és s értékeket mintavételi becslésekként veszik figyelembe <х> és S (<х>), amelyet az (1.1) és (1.7) képlet határoz meg. A szakirodalomban [4,7] egyéb hiányos észlelési módszereket is adunk. Az észlelt hibákat nem veszik figyelembe a mérési eredmény megszerzése során.
A közvetlen mérés eredményeinek feldolgozása során a következő műveleti sorozatot ajánljuk:
1. A közvetlen mérés megfigyeléseinek eredményeit a korrekciók összegével (néhány rendszeres hiba becslése) korrigálják. A hiányok és a visszadobások hiányoznak.
2. Az (1.1) képlet segítségével megkapjuk a mérési eredményt <х>.
3. Ha az egyes megfigyelések eredményei eltérőek, akkor az (1.9) képlet segítségével a véletlenszerű hibák konfidenciaintervallumának félszélességű Dxl-je nyerhető. Előzetesen, az (1.8) képlet segítségével meghatározzuk az S (<х>) a mérési eredmény szórásából, és a függelék táblázatban a hallgató P valószínűségi együtthatója és a szabadsági fokok száma található (n a megfigyelések száma).
4. Az (1.12), (1.13), (1.14) képletek meghatározzák a nem elszámolt szisztematikus hibák konfidenciaintervallumainak félszélességét. A Dx konfidencia intervallum félszélességét a következő képlet adja meg:
Ha az (1.15) képletben a Dxmin minimális érték és a Dxmax maximális érték összehasonlítása Dxmin <0,3 Dхмакс. то меньшей величиной Dхмин можно пренебречь.
5. A közvetlen mérés eredményét bizalmi intervallum formájában rögzítjük:
A Dx konfidenciaintervallum félszélességét néha abszolút hibának nevezik, de az x mért mennyiség relatív hibája.
Indirekt mérés esetén az ismeretlen mennyiség r egy ismert függvény
változók x, y, ..., z, amelyeket kísérletesen kapunk közvetlen mérések segítségével. De a közvetlen mérések pontosan nem határozzák meg a mért mennyiségek matematikai elvárásait. Bizonyos P valószínűséggel a matematikai elvárások konfidenciaintervallumok közé tartoznak:
Az x változó használatával mérés eredménye
,
Ha a Dx kis mennyiség x-vel összehasonlítva.
Több független, x, y, ..., z változó esetében az r (1.17) képlet kiszámításának eredménye maximális hibát eredményez
amely az r konfidenciaintervallum félszélességének tekinthető. A (1.17) és (1.18) képletek határozzák meg a közvetett mérés eredményét: