A Permutation Csoport többszörös átvitele

Bizonyítás. A H csoport tranzitív egy m szimbólum alcsoportján. Bármely alcsoport konjugálja a H. transzmutatív néhány m szimbólumon, és mivel a G csoport tranzitív, bármelyik szimbólum legalább egy ilyen szettre esik. Ha ezek a készletek vagy nem metszenek, vagy nem egyeznek meg egymással, akkor a csoport G. Következésképpen egy H alcsoport számára konjugált alcsoportok vannak, amelyek átrendezik azokat a szimbólumokat, amelyek nem tartalmazzák a H. alcsoportot. Tegyük fel, hogy H # x2032; Az alcsoportok egyike H-hoz kapcsolódik, és így a H és H csoportok # x2032; átrendezzék a lehető legtöbb közös szimbólumot. Megálltunk

Megértjük ezt a megjegyzést, hogy c 1. c s. c_> azok a szimbólumok, amelyeket H csoportként átcsoportosítanak. és a H csoport # x2032; . a 1. a r. a_> a fennmaradó karakterek, amelyeket a H csoport átrendez. b 1. b r. b_> a fennmaradó karakterek, amelyeket a H csoport átrendez # x2032; . Azt állítjuk, hogy ha a H csoport primitív, akkor r = 1. és ha H nem feltétlen, és r> 1. akkor a 1. a r. a_> alkotják a H. Vegyünk egy elemet h # x2032; H.-ből

Itt az alsó elem elemei nincsenek megadva, hanem egyszerűen jelezték, hogy a b i> forma u elemei b elemekre vannak leképezve. számos b elemet c-re állítunk fel. néhány c számot b és c c-ben. Meg kell jegyezni, hogy az r szám # x2212; u elemek b i>. megjelenik a c j> formában szereplő elemekben. egyenlőnek kell lennie a c j> űrlap elemeinek számával. a b i> alak elemeiben jelenik meg. mivel a helyettesítés alsó sorában h # x2032; pontosan r elemeknek kell lenniük.

Ebből következik, hogy az alcsoport h # x2032; # x2212; 1 # x2217; H # x2217; h # x2032; * H * h '> megengedi a k> r alakú elem r elemeit. r # x2212; u a b i> és (s # x2212; r + u) eleme. és ezért ez az alcsoport csak az s + u elemeket képes átengedni, hogy azokat szintén a H. alcsoport átrendezi. Így, ha r> 1 és a H alcsoport # x2032; primitív, megtaláljuk az elem h # x2032; . egyes, de nem minden elemek b i> elemeit ugyanabból a formából álló elemekbe fordítjuk, amelyekből 1

Abban az esetben, ha a H csoport lenyomata, az érvelés nem alkalmazható. De növelhetjük a H és H alcsoportok által egyidejűleg eltolt szimbólumok számát # x2032; . amíg a szimbólumok b 1. b r. b_> nem képezik a H-féle lenyomatlanság régiót # x2032; . és a 1. a r. a_> a H. megkülönböztetés régiója. Ezenkívül H # x222a; H # x2032; Átmeneti csoport az s + 2 r = m + r szimbólumokkal. Így, ha m kisebb, mint n / 2. akkor m + r kisebb mint n. Továbbra is folytathatjuk a tranzitív alcsoportok létrehozását egyre több szimbólumon át, amíg egy H átmeneti alcsoportot kapunk m szimbólumokon keresztül, ahol m nagyobb, mint n / 2. de kevesebb mint n. Ezután bármelyik H csoportot # x2032; . konjugátummal H. több azonos szimbólumot tartalmaz, mint a H. alcsoportot. Tegyük fel, hogy a H alcsoport a legnagyobb lehetséges számmal tranzitív, legfeljebb n jelű szimbólummal. Ha s + 2 r = n és r = 1. akkor a H alcsoport tranzitív n # x2212; 1 szimbólum, és ezért a G csoport kétszeres átmeneti. Ha ez nem áll fenn, létrehozzuk a H. csoportot. amelyre s + 2 r = n és r # x2260; 1. Ebben az esetben a k> űrlap szimbólumai. b i> és cj> alkotják az egész készletet, amelyen a G csoport működik. De mivel a G csoport primitív, létezik egy g elem a G. csoportból. amely a b 1> szimbólumot jeleníti meg egy meghatározott b i> jelben. de nem minden ilyen szimbólumot - ugyanolyan típusú szimbólumokban, és ezért legalább egy elemet jelenít meg k> vagy c j> a b i> alakban lévő elemben. Ezután mindkét H és g alcsoportot # x2212; 1 Hg Hg> hagyja el a meghatározott b i> elemet, és az egyesülésük nagy számú szimbólumon átmenő csoport, mint a H. alcsoport. Így a végén n tranzisztív alcsoportot kapunk # x2212; 1 szimbólumot, és ezért G kétszeres tranzitív.