A Fermat 4 utolsó tétele

4. mutatják, hogy ha a és b - pozitív egész szám úgy, hogy a tér-mentes ab, ab f 3 (mod 4), és minden olyan determináns D = -ab tartalmaz csak egy osztályba, a következő feltételek szükségesek és elégségesek az így k = ax2 + by2 egy prímszám: (1) a fej és a relatív prímek; (2) ax és ellentétes paritásúak; (3) az egyetlen ábrázolás k = au1 + b azok a reprezentációk Cu = + x, v = + y. [Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a = p1p2. pn furcsa. Ezután ak a [P1, *) (p2, *) forma fő részének normája. (pn, *) A.] Egy ilyen szám = ab (például +165) Euler a megfelelő számokat (numerus idoneus) hívta. A kényelmes számok teljes tanulmányozásakor meg kell vizsgálni az eseteket ab = 3 (mod 4) és / vagy ab nem négyzetek mentes. Lásd a testmozgást. 8-12.

5. Keresse meg az összes x értéket, amely kevesebb, mint 50, amelyhez a 165 + x- a prímszám. [Az (1) és a (2) feltételeknek megfelelő nyilvánvaló kivételeken kívül 5 kivétel van a (3) feltételnek megfelelően, amely a végén 7 egyszerűt tartalmaz.]

6. Bizonyítsuk be, hogy S egy kényelmes szám. Bizonyítsuk be, hogy 1301 = 362 + 5 a prímszám. [1301-ben kezdődik, vonja le sorosan az 5., 15., 25., 35., 45. számot. Vegye figyelembe, hogy ez a progresszió csak egy négyzetet tartalmaz.]

7. hipotézis Fermat számok formájában x2 - (-. 5u2 (lásd § 1.7) áll az a tény, hogy ha P1 és P2 - egyszerű, amelyek összehasonlíthatók 3 modulo 4, és amely megszünteti decimális jelöléssel 3 vagy 7, p1p2 = x2 + 5u2. Igazoljuk, hogy ez a hipotézis helyes. [a összehasonlítások p = 3 vagy 7 (mod 20), hogy osztja p és annak elsődleges osztója osztályába tartoznak a nem-elsődleges egybeesik a nemzetség.]

8. Bizonyítsuk be, hogy egy páratlan prím p csak p = x2 - Dy2 formában van, ha p vagy p + D egy négyzetes mod 4D. Euler úgy gondolta, hogy ez a feltétel is elegendő. Valójában a D legkisebb értékei, amelyekre ez nem teljesül, elég nagyok. Az egyikük Lagrange-ot találta [L2, Sec. 84]. A Lagrange példája a D = 79, p = 101; Ezután a p + D egy négyzet alakú 4Z modul, de p Φ x2 - Dy2. Több mint 7.10. Kétirányú osztályok

Sőt, Lagrange megjegyezte, hogy nem lehet válaszolni arra a kérdésre, hogy a p = x2 - Dy2 egyenlőség igaz-e, csak a p modulo 4D osztályt ismeri. Sőt, 101 = 733 (mod 4D), 733 egyszerű és 733 = x2 - Dy2 (D = 79). Formázza újra ezeket a kijelentéseket a 101. és 733. osztályú osztályosztályok és nemzetségek tekintetében, és bizonyítsa azokat. A D. kisebb értékét, amely ellentmond Euler hipotézisének, a Gyakorlatban adjuk meg. 9-től a 8.4.

7.10. Kétirányú osztályok

Gauss az osztók osztályát nevezte ki (bár természetesen formuláján két bináris kvadratikus formák, nem osztók osztályainak kérdése) egy kétoldalas osztály, ha ez az osztály egybeesik a konjugátumával. Ez a meghatározás másképp fogalmazható meg, ha azt mondjuk, hogy egy adott osztály bármely A osztója kielégíti az A kapcsolatot

Egy Gauss felfedezte, hogy a kétoldalú osztályok száma (vagy legalábbis a felső határ) közvetlenül találhatók anélkül, hogy egy kvadratikus viszonossági törvényre vagy Euler tételeire hivatkoznának, és hogy ez ad elegendő információt az esetleges jellegét osztó osztály itt hozhat kvadratikus reciprocitás (és ezért minden Euler tétele § 7.8.) ez a rész témája a számítás a számos kétoldalú osztályok Következtetés másodfokú jog kölcsönös STI látható a következő bekezdésben m.

Ha p egy elágazó elsődleges, akkor (p, *) 2

/ és a osztóosztály (p, *) kétoldalas. Ezenkívül D> 0, (-1, *) a kétoldalas osztályban van. Következésképpen bármely termék (p15 *) (p2, *). (ph, *), ahol P1, p2. ph egyszerűen elágazó, vagy D> 0 esetében P1 lehet -1, kétoldalas osztályban van. Közvetlen tanulmány a példák § 7.6 gondoskodik arról, hogy ezen a módon megszerezni minden kétoldalú osztályok t. E. két- osztály tartalmazza az osztó az űrlap (Pi> *) (Pr> *) • • • (Pk *) • [Ha D = 67 mindkét osztály kétoldalas; egy tartalmaz I - üres terméket, (-1, *) XX (2 *), (-1, *) (67 *) és a (2 *) (67 *) tartalmaz egy második (-1 * ), (2, *), (67, *) és (-1, *) (2, *) (67, *). D = -165 esetén az A = (2, *), B = (3, *), C = (S, *) osztók és termékeik mind a 8 lehetséges osztályban találhatók. Ha D = -163, akkor az egyedülálló osztály kétoldalú, és mind az I, mind a (163, *) üres termékét tartalmazza. D = 79 esetén az I és B3 osztályok kétoldalúak, ahol B = (3, 1). Ezek közül az első tartalmazza I, (2 *), (-1, *) X X (79 *) és a (-1, *) (2 *) (79 *) és a második (-1 * ), (79, *), (-1, *) (2, *) és (2 * * (79 *). Ha D = -161, akkor az 1., Ai, B, AiB osztályok, ahol A = (3, 1), B = (7, *) kétoldalas. Tartalmaznak / és (7, *) (23, *); (2, *) és (2, *) (7, *) (23, *); (7, *) és (23, *); (2, *) (7, *) és (2 * *) (23, *). a

Ch. 7. A négyzetes egészek osztóinak elmélete