Az algebrai interpoláció hibája

Interpolációs hiba becslése f (x) differenciálható n + 1-szer a [a, b], amely tartalmazza a interpolációs pontokat xi (i = 0,1, N) kényelmesen elvégezhető az expressziós:

a tévedés következtében

Felhívjuk a figyelmet az Rn konstruált reprezentációival kapcsolatos interpolációs problémákra. Legyen szükség a függvény interpolálására az [a, b] intervallum minden pontján. Hiba az xi csomópontok kiválasztásától függ. az x pont és az f függvény tulajdonságai. Ha interpolált egy specifikus funkciót F, az interpoláció pontosságát jellemzi max½Rn (x) ½. Ha nem interpoláljanak f függvény, míg egy sor f, akkor a pontosság a becslések szerint sup max½Rn (x) ½ = m = m (x0, x1, ..., xn). (13)

Ez az érték csak a xi (i = 0,1, ..., n) csomópontok választásától függ.

A xi csomópontok kiválasztásának problémáját vetjük fel. amely a legmegfelelőbbnek tekinthető az összes [a, b] függvény interpolálásához a készletből. Természetes, hogy figyelembe vesszük az olyan csomópontokat, amelyekhez az m (x0, x1, ..., x n) érték eléri a legkisebb értéket. Ezeket a csomópontokat megtaláljuk az összes funkciókészlethez, az n + 1 sorrendű deriváltjához [a, b]. Állítsuk át átmenetileg ezt a problémát, és vegyük fontolóra azokat a függvényeket, amelyekhez az önkényesen vett pozitív M-nek az egyenlőtlenséget kell figyelembe venniük

½f (n + 1) (x) 1/2 M. (14)

Az ilyen funkciók esetében az Rn (x) hiba a következő egyenlőtlenséggel becsülhető meg, amely közvetlenül a (11) -ból következik:

max1Rn (x) 1 E [M / (n + 1!)] max1w (x) -1.

Ez a becslés nem javul, mivel az egyenlőség abban rejlik, amikor f az alábbi n + 1 fokú polinom:

sup max ½ Rn (x) 1 = [M / (n + 1)!] max1w (x) 1. (15)

A (15) jobb oldalának első tényezője nem függ a xi csomópontok kiválasztásától. és ezért a (14) állapotot kielégítő f interpoláló funkciók legjobb csomópontjai a xi. amelyre vonatkozóan

Ez a következtetés minden M-re (14) érvényes. Ezért azt állíthatjuk, hogy ezek a csomópontok a legmegfelelőbbek az n + 1 -es sorrendű származtatott [a, b] sorrendű függvények interpolálásához.