Egyenértékűség (kettős következtetés)
A levelező táblázat alapján a (x1 óx2) szintén meghatározható olyan állításnak, amely igaz, ha és csak akkor, ha az x1 és x2 állítások mind egyaránt igazak vagy mindkettő hamisak.
Ugyanúgy, mint az implikáció, az egyenértékűség működését nagyon gyakran különböző tételek megfogalmazásakor használják. Az implikációtól eltérően az egyenértékű meghatározza a szükséges és elégséges feltételeket.
Kérdések és feladatok
3.14. A következő egyszerű utasításokból írja be az egyenértékű műveletből a komplex kifejezést: "A háromszög két oldalának négyzetének összege megegyezik a harmadik oldal négyzetével", "A háromszög négyszögletes". Ellenőrizze az eredményt a megfelelő táblázattal.
3.15. Az egyenértékű művelet használatával dolgozzon ki egy összetett utasítást, amely leírja a biztosíték működését az elektromos áramkörben.
3.16. Adjon egy példát egy tételre, amelynek megfogalmazása az egyenértékű műveletet használja.
Az identitás igazolásának elvei. Üzemeltetési táblázat két logikai változóval
Felmerül a kérdés: hogyan kell bizonyítani, hogy egy kifejezés tényleg egy identitás? Kétféleképpen lehet:
1. Igazolás a levelező táblázat alapján. Az állítólagos identitás mindkét részében létrejönnek a levelező táblázatok. Ha ezek a táblázatok megegyeznek (azaz minden argumentumérték-készlet esetében a kifejezés bal és jobb oldali értékei azonosak), akkor az azonosság igaz.
2. Bizonyíték az egymást követő identitás-átalakításokkal. A bal és a jobb oldali részek egymás után történő átalakítása érdekében ugyanarra a formára kell vinni őket. Az azonos átalakítások szabályait az 5. fejezetben kell figyelembe venni.
Összesen 16 művelet van két logikai (logikai) változóval (3.6. Táblázat).
Nyilvánvaló, hogy egyes műveletek másokkal is kifejezhetők. Például egy diszjunktúra egy összefüggés és egy negáció révén fejezhető ki:
Két művelet van (a Pierce nyíl és a Scheffer stroke), amelyek bármelyikén keresztül bármely más műveletet ki lehet fejezni. Például:
Az összes logikai függvény halmaza a negációval, a kapcsolódással és a diszjunkcióval együtt egy logikai algebra.
Az 5.1. Táblázatból látható, hogy a bal és a jobb oldali részek (vastag betűkkel) a változók összes értékéhez hasonlóak.
Hasonlóképpen a megfeleltetési táblázatok összeállításával bizonyíthatók a fent felsorolt egyéb identitások.
Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik számos más fontos törvény és személyazonosság megszerzését a levelezési táblázatokra való hivatkozás nélkül:
1) de Morgan törvényei:
;
2) abszorpciós törvények:
;
3) Idempotency törvények:
.
Bizonyítsuk be Morgan törvényeinek első érvényességét. Ehhez az egyenlőséget az egymást követő átalakítások révén nyilvánvaló identitással csökkentjük.
A negáció egyenlőségétől és tulajdonságaitól ez következik
A zárójelek kiterjesztése után a következőket kapjuk:
Mivel és. hanem az is. akkor az előző kifejezés a következő formában ábrázolható:
A konstansok tulajdonságainak felhasználásával (...) megkapjuk
Így egyenértékű átalakulások révén a De Morgan első törvényének kifejezését adtuk az identitásnak, és ezáltal igazoltuk a törvény érvényességét.
A második de Morgan-törvény könnyen megszerzett az első alapján, megtagadva a bal és a jobb oldali részeket, valamint a változók megfelelő változását. De Morgan első törvényét írjuk le az a és b változókra vonatkozóan:
.
Ha a kifejezések maguk is egyenlők, akkor negatívjuk is egyenlő:
.
A kettős negáció tulajdonságaitól:
.
Módosítjuk a változókat:
A csere után a következőket kapjuk:
,
azaz de Morgan második törvénye.
A következő identitások is fennállnak:
; ;
5.1. Igazolja a megfeleltetési táblázat használatával az asszociativitás és a felszívódás törvényeinek érvényességét.
5.2. Az egymást követő átalakításokon keresztül ellenőrizze, hogy az alábbi kifejezések közül melyek valódi identitások:
Hasonlítsa össze az eredményeket a feladat 3.15 eredményével.