Csoport, csoportos műveletek, megosztási műveletek, kiegészítés
A kommutatív csoportok esetében a tényezők permutációjának lehetősége (2) következik:
Jeleztük, hogy a (3), (4) és (5) egyenlõségeket igazolják az m és n természetes számokhoz. Azonban ezek az egyenletek minden m és n egész számra érvényesek maradnak. amelyet minden lehetséges eset figyelembe vételével igazolhatunk.
Az ax = b és ya = b egyenletek megoldásainak egyedisége miatt mindkét inverz műveletben G jelen van a szorzás működésében. G kapcsolócsoport esetében mindkét inverz művelet egybeesik. Valójában, ha c az ax = b egyenlet megoldása. akkor ac = b. Ezért ca = b. azaz c a ya = b egyenlet megoldása.
Fogalommeghatározás 5. A G egy kommutatív csoportban a szorzás mûködésére fordított mûvelet divíziónak nevezõdik. Az a és b elemek eredménye. vagyis az ax = b és ya = b egyenletek megoldása. a b és a elemek hányadozójának nevezzük, és b: a vagy.
Adalékanyag bejegyzés. A csoport műveletet egy + b és hívott kiegészítés jelöli. Aztán elmondják az adalékanyag-rekordról. Ebben az esetben a csoportot általában kommutatívnak feltételezik. Az additív jelölés helyett 1 helyett nullát mondunk, és az -1 inverz elem helyett az ellenkező elem a. Továbbá az n fokának helyett egy többszörös na-ról beszélünk (nem értelmezhető n és a termékének, mivel egy egész szám nem lehet G eleme). És így,
Egy additív módon írt G csoport esetében az n elemek összege az alábbiak szerint van jelölve:
és ennek megfelelően az egyenlõségek formája (1) - (5) változik.
Csoport, csoportos műveletek, megosztási műveletek, kiegészítés.