Affin transzformációk

előző ◈ a következő

Transzformációval a készlet feltérképezésére gondolunk. Más szavakkal, az átalakítás olyan szabály, amely szerint a készlet minden egyes eleme azonos csoport elemével van társítva.

Egy sík (tér) átalakulását affine-nek nevezzük. ha két affin koordinátarendszer van úgy, hogy az első koordináta-rendszer bármely pontjának koordinátái egybeesnek a kép koordinátáival a második koordináta-rendszerben.

Az affin transzformáció két leképezés szekvenciális alkalmazásának (összetételének) tekinthető:

  1. A pont az első koordináta-rendszerhez viszonyított koordinátákkal van összhangban;
  2. A kapott koordináták megfelelnek a második koordináta rendszerhez viszonyított pontnak.

Legyen f egy affin transzformáció. Tekintsük az A koordinátarendszer A → → vektorát, a f (A) f (B) → >> a második. Mivel a vektor koordinátái a különbség a vég és az eredet koordinátái, valamint az A és f pontok koordinátái között vannak megadva. B és f (B) egyenértékűek a megfelelő koordináta-rendszerekben, akkor az f (A) f (B) → >> vektor ugyanolyan koordinátákat mutat a második koordináta rendszerhez képest, mint az A B → >> vektor az elsőhöz képest.

Így az affin transzformáció definíciójában vektorok tekinthetők pont helyett.

Adjuk meg az első koordináta-rendszert az O e 1 e 2 e 3 _ \ mathbf _ \ mathbf _> keretével. Az O ponttól elhalasztott alapvektorok meghatározzák bizonyos M i> pontokat. Ekkor nyilvánvalóan a második koordináta-rendszert az O 'e 1' e 2 'e' '' 'keret definiálja. ahol O '= f (O). e 1 '= O' f (M 1) →. e 2 '= O' f (M2) →. e 3 '= O' f (M3) → '_ =) >>, \ mathbf' _ =) >>, \ mathbf '_ =) >>>.

A koordináták szerkesztése Szerkesztés

Vegyünk két affin koordináták által meghatározott fogódzkodókat O e 1 e 2 e 3 _ \ _ mathbf \ mathbf _> és O 'e 1' e 2 'e 3' '_ \ mathbf' _ \ mathbf „_>. Adjuk meg az O 'pont koordinátáit és a második keretnek az első koordináta rendszerhez viszonyított alapvektorát a következőképpen:

Vegyünk egy tetszőleges M. pontot. Legyen a koordinátái az első és a második koordinátarendszerben (x.Y.Z) és (x ', Y', Z '). Határozzuk meg, hogy ezek a koordináták hogyan kapcsolódnak egymáshoz. nyilván,

Mivel az alapvektorok lineárisan függetlenek, a koordináta-transzformációs mátrixnak nem degeneráltnak kell lennie (a meghatározó nem nulla).

A vektor koordináták szerkesztése Szerkesztés

Hagyja a vektort koordinátákkal az első koordináta rendszerhez viszonyítva a = >. Ha ezt az O pontra alkalmazza, akkor ez a vektor határozza meg az M = (x Y. Z) pontot. Meghatározzuk a transzformált vektor koordinátáit az a = f (a) = első koordináta rendszer vonatkozásában >. Az átalakított koordináta rendszerben az O és M pontok koordinátái

Így az O M → >> vektor koordinátái a transzformált koordináta rendszerben

Az affin transzformáció izometrikusnak mondható. ha megőrzi a pontok közötti távolságot.

Tekintsen minden három pontot A. B. C. nem fekszik egy sorban. Tegyük fel, hogy az A 'pontok. B ". C 'vegyületeket izometrikus transzformáció útján nyerik ki. Mivel a pontok közötti távolság nem változott, akkor △ A B C = △ A 'B' C 'Ebből következik, hogy az izometrikus transzformáció nem változtatja meg a vonalak közötti szöget.

Az izometrikus transzformációs mátrix ortogonális.

Legyen f - izometrikus transzformáció, A - a mátrix, O e 1 e 2 e 3 _ \ mathbf _ \ mathbf _> - affin koordinátarendszer, ahol a bázis vektorok egységnyi hosszúságú.

Az alap vektorok a transzformált koordinátarendszer, nyilván egyenlő e i '= A e i' _ = A \ mathbf _>. Mivel perspektív transzformáció nem változtatja meg a szögek, a e i '⋅ e j' = e i ⋅ e j '_ \ cdot \ mathbf' _ = \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _>. Átalakulunk

EI '⋅ EJ' = (A El) ⋅ (A EJ) = (A EI) TA ej = ei TATA ej = ei ⋅ ej = ei T ej '_ \ cdot \ mathbf' _ = (A \ mathbf _) \ cdot (A \ mathbf _) = (A \ mathbf _) ^ A \ mathbf _ = \ mathbf _ ^ A ^ A \ mathbf _ = \ mathbf _ \ cdot \ mathbf _ = \ mathbf _ ^ \ mathbf _>

ahol G az ortogonális 2 × 2 mátrix.

Továbbra is több esetet kell megfontolni

  • det G = 1. Ekkor G = [cos ⁡ φ - sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ φ] \ cos \ varphi - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi \ cos \ varphi \ end >>
    • φ = 0
      • Ha det A = 1. akkor az A mátrix párhuzamos szállításnak felel meg (a csavarfordítás speciális esete)
      • Ha det A = -1. majd egy elmozdulással, mint az előző tételben, bebizonyosodik, hogy az átalakulás csúszós szimmetria.
    • Ha φ ≠ 0. akkor találunk egy rögzített pontot (0 y *, z *), z _)>. hogy a transzformáció egy csavar vagy tükör forgása a jeltől függően.
  • det G = -1
Ezután az ilyen egységvektorokat választhatjuk meg

Így az eredeti mátrix két típus egyikére csökken

Kapcsolódó cikkek

előző ◈ a következő