A mechanikai rendszer impulzusa
Tekintsük az anyagi pontok rendszerét. A rendszer impulzusa megegyezik a rendszer összes n anyagpontjának impulzusainak geometriai összegével:
Az utolsó egyenlőség átalakítása és a képlet használatával (2.11) a következőket kapjuk:
A (2.14) bekezdésből következik, hogy a pontrendszer egy lendülete megegyezik a teljes rendszer tömegének termékével a tömegközéppont sebességével.
Miután a 2.13 egyenletet a (2.14) kifejezéssel vettük figyelembe,
A (2.16) egyenlet egy tételt fejez ki egy rendszer lendülete változásakor: a mechanikai rendszer lendületének változási sebessége egyenlő a rendszerre alkalmazott összes külső erő összegével. A (2.15) egyenlet szerint a rendszer lendülete csak külső erők hatására változhat, a belső erő nem változtathatja meg a rendszer lendületét.
A zárt rendszer olyan pontrendszer, amelyen a külső erők nem működnek. Zárt rendszer esetén a (2-15) egyenlet jobb oldala nulla,
A kapott egyenlet a lendület megőrzésének törvényét fejezi ki. A zárt rendszer lendülete nem változik idővel. Ebben az esetben az egyes pontok vagy részei a zárt rendszer időben változhatnak:
Mindazonáltal ezek a változások mindig úgy alakulnak ki, hogy a rendszer egy része lendületének növekedése megegyezik a rendszer fennmaradó része lendületének csökkenésével.
1. A lendületet zárt rendszerhez is lehet tárolni, feltéve, hogy az összes külső erő eredménye nulla.
2. Nem zárt rendszerben a lendület önmagában nem konzerválható, hanem a Px vetületét x irányba. Ennek az az oka, hogy ha az eredményül kapott külső erőnek az x irányára történő vetülete nulla, vagyis a vektor merőleges rá. Valóban, miután a tervezett egyenletet (2.16) megkapjuk
amiből az következik, hogy ha, akkor Px = const. Például, amikor a rendszer egy homogén gravitációs mezőben mozog, a lendülete bármilyen vízszintes irányra megmarad, tekintet nélkül a rendszerben zajló folyamatokra. Amikor az ember vízszintesen mozog az eredetileg pihentető hajón, akkor az emberhajó rendszer impulzusa nulla lesz. A man-boat rendszer tömegközéppontja rögzített, mivel a külső erők vízszintes irányban nulla (ha az ellenállási erőket elhanyagolják), és a (2.14) szerint a tömegközéppont sebessége szintén nulla.
Példa 2.1 Keressünk egy anyagpont mozgásának jogát egy egyenes vonal mentén egy F = -kx rugalmas erő hatására. A mozgás az x = 0 koordináták eredetétől kezdődik a t = 0 időpontban kezdeti sebességgel # 965; 0.
Az egyenlet (2.3) az egydimenziós esetben ():
Ez egy differenciál egyenlet, állandó koefficiensekkel. A matematikából ismert, hogy ennek a differenciálegyenletnek a megoldása a következő:
A és # 966; a kezdeti körülmények között találjuk:
érték # 969; 0 úgy definiáljuk, hogy a megoldást (2.18) a (2.17) egyenletbe helyezzük:
A keresett törvény formája:
A szinuszos funkció (2.18) által adott mozgást harmonikus oszcillációnak nevezik. A w0 mennyisége az anyagpont természetes ingadozásainak ciklikus frekvenciája, A az oszcillációk amplitúdója, # 966; - kezdeti szakasz.
2.2. Példa. A tömegközéppont törvényének alkalmazása a csúszó súrlódási erők kiszámításához.
Egy homogén tömegű m henger egyenletesen forog egymás között két egymásra merőleges sík között (2.3. Ábra). A hengernek a síkra való csúszó súrlódási együtthatója m. Keresse meg a csúszó súrlódási erőket.
A súrlódási erő és a síkok oldalán fellépő reakcióerők, valamint a gravitációs erő mg (2.3. Ábra) a külső hengeren fellépő külső külső szervek hatására hatnak a hengerre. A palack tömegközéppontja (a C palack tengelyén fekvő pont stabil). Ezért a (2.14) egyenlet bal oldala nulla. Ezt az egyenletet újraszövegezzük az x és y tengelyek nyúlványain:
A csúszó súrlódási erők egyenlő Fp1 = mN1 és Fmp2 = mN2. Ha ezeket a kifejezéseket (2.19) helyettesíti, akkor a következőket kapjuk: