Absztrakt - elméleti fizika - mechanika
Elméleti fizika
A fizika és matematika ötödik évének diákja, gr. RP-61
Filatov Alexander Sergejevics
Téma: "Kanonikus átalakítások. A Hamilton-Jacobi funkció. Változók elkülönítése »
Célkitűzések. Fejleszteni kell a kanonikus átalakítások készségét. Annak érdekében, hogy végre lehessen hajtani a Legendre átalakításokat a szükséges változók generáló funkciójához. Taníts meg minket a Hamilton-Jacobi módszer használatára a változók szétválasztásával kapcsolatos problémák megoldásához. Formálja a módszer lényegét és erejét. Tanuljon szorgalomra és gondosságra.
Foglalkozás típusa. praktikus.
A lecke
Rövid elméleti információ
A változók kanonikus átalakulása # 150; Ezek olyan átalakulások, amelyek megőrzik a Hamilton-egyenletek kanonikus formáját. Az átalakításokat generáló függvény segítségével végezzük, amely a koordináták, impulzusok és idő függvénye. A generáló funkció teljes differenciálását a következőképpen határozzuk meg:
Ha egy generáló függvényt választunk különböző változókból, megkapjuk a kanonikus transzformációk megfelelő formáját. Vegye figyelembe, hogy ha a részleges származékot átveszi a "kicsi" kifejezésre. akkor kicsi lesz. ha a "nagy". akkor megkapjuk ennek megfelelően.
Amikor a cselekvést a koordináták (és az idő) függvényében vesszük figyelembe, a lendület kifejezését követjük:
A cselekvés teljes származtatásának időbeli vonatkoztatásától függően a Hamilton-Jacobi egyenlet követi:
Itt a műveletet a koordináták és az idő függvényeként tekintjük.
A Hamilton-Jacobi egyenlet integrálásával. a cselekvés ábrázolását teljes integrálnak tekintjük, ami az s koordináták, az idő és az s +1 állandók függvénye (s # 150; szabadságfokok száma). Mivel a cselekvés csak származékként lép be a Hamilton-Jacobi egyenletbe, az egyik állandót az additív módon a teljes integrál tartalmazza, azaz a teljes integrálnak a következő formája van:
Az állandó A nem játszik fontos szerepet, mivel a cselekvés csak származékként lép be. A megállapítja, hogy valójában csak az állandók lényeges módon változtatják meg a cselekvést. Ezeket a konstansokat a mozgásegyenletek kezdeti körülményei határozzák meg, amelyek bármely A érték esetén ugyanazokkal a formákkal rendelkeznek, mint maga a Hamilton-Jacobi egyenlet.
Annak tisztázása érdekében, hogy az egyenlet teljes integrálja-e. és az érdeklődésre számot tartó mozgás egyenletei, akkor szükség van egy kanonikus átalakításra, ha a cselekvés teljes integrálját generáló függvényként választjuk ki.
A konstansok új impulzusként fognak működni. Ezután az új koordinátákat
is állandó lesz, mert
A koordináták kifejezése a. kapjuk a mozgás törvényét:
A függőség megtalálásának problémája megoldása nagymértékben leegyszerűsödik a változók szétválasztása esetén. Ez akkor lehetséges, ha bizonyos koordináta csak a megfelelő lendülettel társítható, és nem kapcsolódik semmilyen más impulzushoz vagy koordinátához, amely az egyenletbe lép. Különösen ez a feltétel teljesül a ciklikus változók esetében.
Így a Hamilton-Jacobi módszer mozgásegyenleteinek megállapítása a következőkre csökkenti:
- töltsük fel a Hamilton funkciót;
- írja a G.-J. egyenletet. és meghatározza, hogy mely változók vannak elválasztva;
- A H.-J. a teljes integrált forma formáját kapja;
- Hozz létre egy egyenletrendszert, és szerezzen meg a mozgás törvényét;
- Szükség esetén keresse meg az impulzusok megváltoztatásának törvényét. Miért különböztetjük meg a teljes integrált értéket a koordináták tekintetében? majd helyettesíti a 4. bekezdésben kapott kifejezett formanyomtatványt.
Példák a problémamegoldásra
Mint ismeretes, a Lagrange függvény helyettesítése
ahol # 150; egy önkényes függvény, nem változtatja meg a Lagrange-egyenleteket. Mutassuk meg, hogy ez az átalakulás kanonikus, és megtalálja a generáló funkcióját.
Újraírjuk a primer Lagrange függvényt, amely a függvény teljes származékát reprezentálja a részlegesek tekintetében:
Az alapozott és a primer Lagrange funkcióknak megfelelő Hamilton-funkciók a következők:
Leírjuk. a primer Lagrange függvény ábrázolásával.
A képleteket a Hamilton kikötési funkció kifejezésében helyettesítjük. kapunk:
Kölcsönösen csökkentve a második ciklust az utolsóig, figyelembe véve a függést. kapunk:
De a kanonikus transzformáció szerint a generáló funkcióval Φ
A kapott kapcsolat határozza meg a feltétel a kanonikus transzformáció generáló függvényének időbeli részében, amely megfelel a Lagrange függvény átalakulásának.
Mivel a Lagrange-függvény transzformációjában a generalizált mátrix és a koordináták formája nem változott, a generáló függvény koordináta-lendületi részének meg kell felelnie az azonosítási kanonikus transzformációnak. Amint azt a 9.32. Feladat [] mutatja be (az előjáték harmadik része), a változatlan Hamiltonianal azonos kanonikus átalakulást meghatározó generáló függvény a következőképpen alakul:
Figyelembe véve a feltételeket a generáló funkció időbeli részében, végül:
Az eredményül kapott generáló függvény meghatározza a személyazonosság kanonikus transzformációját a Hamilton-függvény helyettesítésével a Lagrange függvény megfelelő helyettesítésével.
A feladat. Egy rendszer, amely két tömeggolyóból áll. amely függőlegesen elhelyezkedő súlytalan rugóhoz kapcsolódik, a gravitáció területén mozog. A tavasz hossza. Készítsen egy kanonikus átalakítást, és írja le a generáló funkciónak megfelelő új Hamilton-függvényt
Tegyük fel a rendszer hamiltonjait:
Itt a potenciális energia a harmonikus rezgések energiájából és a golyók potenciális energiájából áll a gravitációs erők területén. Egy potenciális terület meghatározásával:
Egydimenziós mozgással foglalkozunk, ezért a képletben a gradiens a x-re vonatkozó származékkal helyettesíthető. Ugyanakkor az erő a teljes gravitációs erő. Figyelembe véve a gravitációs mező szuperpozíciójának elvét, integráljuk az utolsó egyenletet:
A rugó elmozdulása az egyensúlyi helyzetből a következőképpen határozható meg:
A képletben lévő kifejezések helyettesítése. megkapjuk a Hamilton-függvény alakját kifejezetten a momentum és a koordináták formájában kifejezve:
Az új kanonikus változókra való áttérés abban az esetben valósul meg, ha lehetõvé válik a Hamilton-függvény formájának egyszerûsítése, és ennek megfelelõen az abból kibocsátott mozgás egyenlete.
Ebben a helyzetben célszerű új koordinátákat választani úgy, hogy az leírja a rendszer tömegközéppontjának mozgását és a rugó második oszcillációját saját referenciakeretében. Ellenőrizzük, hogy az állapotban megadott generáló funkció megfelel-e ennek az átalakulásnak.
Az új koordináta egybeesik a rugó elmozdulási értékével az egyensúlyi helyzetből.
Az új koordináta egybeesik a rendszer tömegközéppontjának helyzetével.
Mindkét egyenlet hozzáadásával:
# 150; csökkentett tömeg.
Az új változókban leírjuk a Hamilton-függvényt:
# 150; a rendszer teljes tömege.
Valójában a Hamilton-függvény az új változókban két részre oszlik, ami két pár kanonikus egyenletnek felel meg. Az egyik rész a golyók oszcillációit írja le saját referenciakeretükben, a másikban # 150; a rendszer egészének mozgása a gravitáció területén.
No. 9.21 [] Keresse meg a G.- Ya egyenlet teljes integrálját. és az anyagi pont szabad mozgásának törvényét.
1. Tegyük fel a szabad részecske Hamilton-függvényét:
2. Írjuk le a H.-J.
3. Elkülönítjük a változókat és integráljuk őket időben.
Az eredeti állapotot használjuk:
Ezután helyettesíti az S függvény formáját az Γ egyenletbe. az utóbbi a következő formában fog megjelenni:
Következésképpen a G.-J. egyenlet teljes integrálja.
4. A mozgás törvényét a kanonikus átalakulás határozza meg:
Hol származik a mozgás törvénye?
5. A szabadon mozgó anyagpont lendülete a következőképpen határozható meg:
Valójában, külső mező hiányában a részecske állandó lendülettel mozog.
Házi feladat:
Keresse meg az űrlap generáló funkcióját. amely ugyanazt a kanonikus átalakulást eredményezi.
No. 9.38 [] Keresse meg azt az egyenletet, amelyet a generáló funkció kielégít. generálva egy kanonikus átalakítást állandó momentumnak és koordinátáknak.
No. 9.23 [] Keresse meg a H.-J. egyenlet teljes integrálját. egy sima, ferde sík mentén mozgó test számára, amely a vízszintes szöget zár be.
No. 12.1 a) [] Keresse meg a pályát és a részecskék mozgásának törvényét a mezőben
Irodalom:
- LD Landau, E.M. Lifshits "Mechanika, elektrodinamika", - M. "Science", 1969 - 272 o.
- LD Landau, E.M. Lifshits "Mechanika", M. "Science", 1965 - 204 o.
- II Olkhovsky, Yu.G. Pavlenko, L.S. Kuzmenkov "A fizikusok elméleti mechanikájának problémái". - M. 1977 - 389.
- GL Kotkin, V.G. Szerb "Az elméleti mechanika problémáinak gyűjtése", M. "Nauka", 1977 - 320 p.
- IV Meshchersky "Az elméleti mechanika problémáinak gyűjtése", M. "Science", 1986 - 448 p.
- LP Grechko, V.I. Sugakov, OF Tomasevich, A.M. Fedorenko "Az elméleti fizika problémáinak gyűjteménye", M. "Felsőoktatás" 1984 - 319 o.
Diák-gyakornok: Filatov A.S.