A numerikus pozitív sorozatok összehasonlításának határjelzése

Amint azt már említettük, a gyakorlatban ritkán használják az eddig vizsgált összehasonlítási kritériumot. A numerikus sorozatok elméletének valódi "munkahorsa" az összehasonlítás korlátozó jele. A használatának előfordulási helyén csak a Dhlambermer jele versenyezhet.

Korlátozza az összehasonlítás tüneteit: Tekintsünk két pozitív numerikus sorozatot, és Ha a sorozat közös tagjainak aránya egyenlő egy véges nem nulla számmal. . akkor mindkét sorozat egyidejűleg konvergál, vagy eltér egymástól.

1) Ha két konvergens sorozatról beszélünk, akkor a határ nulla lehet (de nem végtelen).

2) Ha két divergáló sorról beszélünk, akkor a határ egyenlő lehet a végtelenséggel (de nem nulla).

Mikor alkalmazzák az összehasonlítás korlátozó jeleit? Az összehasonlítás korlátozó jele akkor alkalmazható, ha a sorozat "töltése" polinom. Vagy egy polinom a nevezőben, vagy egy polinom mind a számlálóban, mind a nevezőben. Az egyik vagy mindkét polinom lehet a gyökér alatt.

Azonnal vegye figyelembe azt a példát, amelyre a vizsgált összehasonlítási kritérium nem működik.

10. példa A konvergenciasorozat vizsgálata

Összehasonlítsuk ezt a sorozatot egy konvergens sorozattal. Az összehasonlítás korlátozó jeleit használjuk. Ismeretes, hogy a sorozat konvergál. Ha sikerül kimutatni, hogy az egyenlő egy véges, nem nulla számmal, akkor bebizonyosodik, hogy a sorozat is konvergál.

Véges nonzero számot kapunk, ezért a vizsgált sorozat konvergál a sorozathoz. Miért választották a sorozatot összehasonlítás céljából? Ha az általánosított harmonikus sorozatok "ketrecéből" választottunk volna más sorozatokat, akkor nem lett volna sikeres a véges nonzero szám (akkor kísérletezhetjük).

Megjegyzés: ha az összehasonlítás határértékét használjuk, akkor nem számít. melyben a közös tagok arányának megteremtése érdekében a példa szerint a kapcsolat éppen ellenkezőleg kirajzolódhat: - ez nem változtatná meg az ügy lényegét.

Az összehasonlítás határértékét csaknem minden sorozat esetében alkalmazzák, amit az előző bekezdésben figyelembe vettünk:
. . . .
Ezeket a sorozatokat a képernyőmintán, amelyet csak figyelembe vesszük, össze kell hasonlítani a konvergens sorozattal, azaz :. . . .

11. példa A konvergencia-sorozat vizsgálata

Ez egy példa az önrendelkezésre.

Mi van, ha a polinomok mind a nevezőben, mind a számlálóban vannak? A megoldás algoritmusa majdnem megegyezik - a megfelelő harmonikus sorozathoz tartozó "ketrecből" megfelelő sorozatot kell kiválasztani.

12. példa Vizsgálja meg a konvergencia sorozatot

Látjuk, hogy a számlálóban és a nevezőben polinomok vannak, és a nevezőben a polinom a gyökér alatt van. Válasszunk egy sorozatot összehasonlításra.

1) Először meg kell találnunk a nevező legmagasabb fokát. Ha nincs gyökér, akkor nyilvánvaló, hogy a nevező legmagasabb fokának négy lesz. Mi a teendő, ha van gyökér? Ezt már a leckében a korlátok megoldásának módszereiről mondtam. Az ismétlés a tanítás édesanyja: szellemileg vagy tervezetenként minden tagot elvetünk, kivéve az idősebbeket :. Ha van állandó, azt is elvetjük :. Most húzza ki a gyökeret :. Így a nevező legmagasabb foka két.

2) Megtaláljuk a számláló legmagasabb teljesítményét. Nyilvánvaló, hogy ez egyenlő egyvel.

3) A nevező magasabb fokából levonjuk a számláló legmagasabb teljesítményét: 2 - 1 = 1

így sorozatot sorszámmal kell összehasonlítani. vagyis egy divergens harmonikus sorozattal. A döntés tapasztalat felhalmozásának folyamata során ezt a három pontot mentálisan lehet és kell.

A megoldás megtervezése valami ilyesmi legyen: "
Összehasonlítsuk ezt a sorozatot egy divergens harmonikus sorozattal. Az összehasonlítás határértékét használjuk:

Véges nonzero számot kapunk, ezért a vizsgált sorozat a harmonikus sorozattal együtt szétválik.

(1) A közös tagok arányát alkotjuk.
(2) Megszabadulunk a négyemeletes frakcióktól.
(3) A zárójelet a számlálóban bővítjük.
(4) A bizonytalanság megszűnik a számláló és a nevező "en" legmagasabb fokú elosztásával.
(5) Az alsó sorban felkészülünk a gyökér alá történő belépéshez:
(6) A nevezőben közös gyökeret szervezünk.
Megjegyzés: a gyakorlatban az 5.6. Pontok kihagyhatók, nagyon részletes rágásom van azok számára, akik nem igazán értik, hogyan kell kezelni a gyökereket.
(7) A számlálókat numerikus módon osztjuk fel nevezőként. Jelölje meg azokat a feltételeket, amelyek nulla.

13. példa Vizsgáljuk meg a konvergencia sorozatot

Ez egy példa az önrendelkezésre.

Ahogy tapasztalatokat szerez a példák megoldásában, azonnal látni fogja, hogy egy ilyen sorozat konvergál vagy eltér egymástól. Például, fontolja meg a sorozatot. Igen, 3 - 1 = 2, akkor a sorozatot össze kell hasonlítani a konvergens sorozattal. és egyszerre mondhatjuk, hogy a vizsgált sorozatunk is konvergál. Kisvállalkozás - továbbra is pontosan kiadta a szokásos rutin megoldást. Itt, talán, és minden kezdeti információt a pozitív numerikus sorozatokról, amelyekre gyakorlati példák megoldásánál szükség lesz. A következő szám a sorozatos sorozat sorozatában a sorozat konvergenciájának jele. D'Alembert jele. Cauchy jelei

Megoldások és válaszok:

2. példa:
Megjegyzés: vegye figyelembe, hogy ebben a példában a "számláló" változó "fel van töltve" az értékből

7. példa:
Megosztjuk a számlálót és a nevezőt

A vizsgált sorozat eltér egymástól. mivel a sorozat konvergenciájához szükséges kritérium nem teljesül.

9. példa: Hasonlítsa össze ezt a sorozatot egy divergens harmonikus sorozattal.
Az összehasonlító jelet használjuk:
Ha. az
Ha. az
Ha. az

Így az egyenlőtlenség a sorozat minden feltétele tekintetében érvényesül. ezért az összehasonlítás alapján a vizsgált sorozat eltér a harmonikus sorozattól.
Megjegyzés: És itt van egy informális jelentés. Bebizonyosodott, hogy a harmonikus sorozat eltér egymástól, így a kifejezések összege:. Megmutattuk, hogy a sorozat tagjainak még több tagja van a sorozatnak. és teljesen világos, hogy a sorozat összege nem lehet kevesebb, mint a végtelen.

11. példa: Hasonlítsa össze ezt a sorozatot egy divergens sorozattal. Az összehasonlítás határértékét használjuk:

Véges, nem nulla számot kapunk, ezért a vizsgált sorozat divergálja a sorozatot.

13. példa: Ezt a 3 pontot mentálisan vagy egy tervezeten végezzük:
1) A nevező legmagasabb fokú: 4
2) A számláló legmagasabb fokú: 1
3) 4 - 1 = 3
Összehasonlítsuk ezt a sorozatot egy konvergens sorozattal. Az összehasonlítás határértékét használjuk:
Véges számot kapunk, amely nullától különbözik, így a vizsgált sorozat konvergál a sorozattal