Tanulási alkalmazás numerikus módszerekhez a funkció közelítése

A legkisebb négyzetek módszere

Az interpolációs polinomok fő hátránya az extrema és inflexiós pontok nagy számának a jelenléte, amelyet azok nullapontjait megváltoztató polinomok összegzése határozza meg. Ezenkívül a függvény kezdeti táblázatos értékei különböző okokból pontatlanul adódnak, ezért 4-5 fok feletti polinomokat kell felépíteni, tudván, hogy elméleti tanulmányokból a táblázat intervallumának működése teljesen más, nem sok értelme van.

Ha a függvény táblázatos értékeit elméleti értékként értelmezhetjük, plusz a hiba, akkor az elméleti görbe közelségének kritériumát az adott táblázatok adott csoportjához meg lehet találni ennek a görbének a szükséges számú paraméterét.

A legelterjedtebb közelségi kritérium a minimális átlagos négyzetes eltérés:

hol van a kísérleti adatok pont a táblából,

- a kívánt függőség értéke egy ponton.

Ha a kívánt függőség kívánatos, hogy egy fokú polinom jelenjen meg. akkor a benne lévő koefficiens ismeretlen paramétereket jelent. Ha a kívánt polinomot az eltérések négyzetének összegével helyettesítjük, egy olyan függvényt kapunk, amely e paraméterektől függ:

Annak érdekében, hogy a funkcionalitás minimális legyen, a funkcionális részleges származékokat nullához kell igazítani és a rendszert ismeretlen paraméterekkel szemben fel kell oldani. Ezek a lépések a lineáris egyenletek következő rendszeréhez vezetnek

Itt - egy állandó együttható, amely megegyezik az érvek összes értékének hatáskörével. Kézi számításuknál célszerű több oszlopot hozzáadni az eredeti adattáblához. - a lineáris algebrai egyenletek rendszerének jobb oldalán található számértékek, amelyek kiszámításához az oszlopok további hozzáadására is alkalmas az eredeti adattáblázathoz.

A legkisebb négyzetek módszerét mutatjuk be az adatokra, a táblázatban szereplő pontok számával egyenlő 4. A közelítő polinom maximális foka egy ilyen készlet esetében 3, mivel a következő összefüggést kell teljesíteni:. A maximális mértékben a közelítő és interpoláló polinomok egyenlők.

Hagyja, hogy az adattábla további oszlopok hozzáadásával így nézzen ki:

Az alsó sorban az egyes oszlopok összegét helyezzük el.

Egy harmadik szintű polinomra vonatkozó egyenletrendszer:

Miután megoldotta a rendszert, megtaláljuk:

Ugyanaz a táblázat anélkül, hogy hozzáadnánk semmit, lehetővé teszi számunkra, hogy megtaláljuk a második fok közelítő polinomának együtthatóit. Ehhez elegendő a harmadik egyenlet polinomiájának negyedik egyenletét eltávolítani a rendszerben, és kizárni a feltételeket az ismeretlenből a többi egyenletből. Ennek eredményeképpen a második fok polinomjának egyenleteinek rendszere:

Miután megoldotta a rendszert, megtaláljuk:

Hasonlóképpen le lehet csökkenteni az első és a nulla fok [1, 3, 32 33, 44] közelítő polinomjainak az egyenletek számát.