Tanulási alkalmazás numerikus módszerekhez a funkció közelítése
A legkisebb négyzetek módszere
Az interpolációs polinomok fő hátránya az extrema és inflexiós pontok nagy számának a jelenléte, amelyet azok nullapontjait megváltoztató polinomok összegzése határozza meg. Ezenkívül a függvény kezdeti táblázatos értékei különböző okokból pontatlanul adódnak, ezért 4-5 fok feletti polinomokat kell felépíteni, tudván, hogy elméleti tanulmányokból a táblázat intervallumának működése teljesen más, nem sok értelme van.
Ha a függvény táblázatos értékeit elméleti értékként értelmezhetjük, plusz a hiba, akkor az elméleti görbe közelségének kritériumát az adott táblázatok adott csoportjához meg lehet találni ennek a görbének a szükséges számú paraméterét.
A legelterjedtebb közelségi kritérium a minimális átlagos négyzetes eltérés:
hol van a kísérleti adatok pont a táblából,
- a kívánt függőség értéke egy ponton.
Ha a kívánt függőség kívánatos, hogy egy fokú polinom jelenjen meg. akkor a benne lévő koefficiens ismeretlen paramétereket jelent. Ha a kívánt polinomot az eltérések négyzetének összegével helyettesítjük, egy olyan függvényt kapunk, amely e paraméterektől függ:
Annak érdekében, hogy a funkcionalitás minimális legyen, a funkcionális részleges származékokat nullához kell igazítani és a rendszert ismeretlen paraméterekkel szemben fel kell oldani. Ezek a lépések a lineáris egyenletek következő rendszeréhez vezetnek
Itt - egy állandó együttható, amely megegyezik az érvek összes értékének hatáskörével. Kézi számításuknál célszerű több oszlopot hozzáadni az eredeti adattáblához. - a lineáris algebrai egyenletek rendszerének jobb oldalán található számértékek, amelyek kiszámításához az oszlopok további hozzáadására is alkalmas az eredeti adattáblázathoz.
A legkisebb négyzetek módszerét mutatjuk be az adatokra, a táblázatban szereplő pontok számával egyenlő 4. A közelítő polinom maximális foka egy ilyen készlet esetében 3, mivel a következő összefüggést kell teljesíteni:. A maximális mértékben a közelítő és interpoláló polinomok egyenlők.
Hagyja, hogy az adattábla további oszlopok hozzáadásával így nézzen ki:
Az alsó sorban az egyes oszlopok összegét helyezzük el.
Egy harmadik szintű polinomra vonatkozó egyenletrendszer:
Miután megoldotta a rendszert, megtaláljuk:
Ugyanaz a táblázat anélkül, hogy hozzáadnánk semmit, lehetővé teszi számunkra, hogy megtaláljuk a második fok közelítő polinomának együtthatóit. Ehhez elegendő a harmadik egyenlet polinomiájának negyedik egyenletét eltávolítani a rendszerben, és kizárni a feltételeket az ismeretlenből a többi egyenletből. Ennek eredményeképpen a második fok polinomjának egyenleteinek rendszere:
Miután megoldotta a rendszert, megtaláljuk:
Hasonlóképpen le lehet csökkenteni az első és a nulla fok [1, 3, 32 33, 44] közelítő polinomjainak az egyenletek számát.