Intuíciós logika
Az intuíciós logika klasszikus logika a kizárt harmadik kizárt axiómájával. Eredetileg Arend Heiting fejlesztette ki annak érdekében, hogy formális alapot nyújtson az intuíciós elmélet számára. Az igazság fogalmának helyett az intuíciós logika a kifejezéseken végzett transzformációk ellenőrizhetőségének koncepciójával működik. Gyakorlati szempontból az intuíciós logika rendkívül kényelmes, mert létező tulajdonsága van. amely lehetővé teszi számunkra, hogy ezt a logikát alkalmazzuk a matematikai konstruktivizmus egyéb formáinak eszközeként.
Az intuíciós logika formuláinak szintaxisai hasonlóak a javaslatok logikájának vagy az elsőrendű logika szintaxisának. A különbség az, hogy e klasszikus logika sok tautológiája nem bizonyítható az intuíciós logika keretei között. Példaként vezethet nemcsak a törvény kizárja harmadik (\ (P \ és \ neg P \)), de a törvény a Pierce (\ (((P \ rightarrow Q) \ rightarrow P) \ rightarrow P \)), és még a törvény tagadás tagadása a klasszikus logika, mindkét kifejezés \ (P \ rightarrow \ neg \ neg P \) és \ (\ neg \ neg P \ rightarrow P \) a tételek. Az intuíciós logikában csak az első kifejezés egy tétel: egy negáció tagadása levezethető, de nem távolítható el.
Az a megfigyelés, hogy sok klasszikus tautológia nem az intuíciós logika tétele, azt sugallja, hogy a klasszikus logika bizonyítási rendszere gyenge.
Axiomatika [szerkesztés]
A kimeneti szabály a Modus Ponens. Az axióma rendszer a következő:
- THEN-1: \ (\ phi \ rightarrow (\ chi \ jobboldali \ phi) \)
- AKKOR-2: \ ((\ phi \ rightarrow (\ chi \ rightarrow \ psi)) \ rightarrow ((\ phi \ rightarrow \ chi) \ rightarrow (\ phi \ rightarrow \ psi)) \)
- AND-1: \ (\ phi \ és \ chi \ jobboldali \ phi \)
- AND-2: \ (\ phi \ és \ chi \ jobboldali \ chi \)
- AND-3: \ (\ phi \ rightarrow (\ chi \ baloldali (\ phi \ és \ chi)) \)
- OR-1: \ (\ phi \ rightarrow \ phi \ vagy \ chi \)
- OR-2: \ (\ chi \ jobboldali \ phi \ vagy \ chi \)
- VAGY-3: \ ((\ phi \ rightarrow \ psi) \ rightarrow ((\ chi \ rightarrow \ psi) \ rightarrow (\ phi \ vagy \ chi \ rightarrow \ psi)) \)
- \ (\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- NOT-2: \ (\ phi \ rightarrow (\ neg \ phi \ rightarrow \ chi) \)
Annak érdekében, hogy az adott axiómák rendszere összeegyeztethető legyen az elsőrendű predikátumok logikájával, egy általánosító szabály és a következő axiómák sorozata kerül hozzáadásra:
- PRED-1: \ ((\ forall x Z (x)) \ jobboldali Z (t) \)
- PRED-2: \ (Z (t) \ jobboldali (\ forall x Z (x)) \)
- PRED-3: \ ((\ forall x (W \ jobboldali Z (x)) \ jobboldali (W \ jobboldali \ forall x Z (x)) \
- \) \ Rightarrow (\ forall x Z (x) \ jobboldali W) \) PRED-4: \ ((\ forall x (Z (x)
A műveletek kölcsönös meghatározása [szerkesztés]
A klasszikus propozicionális logikában (proposicionális logika) lehetséges olyan műveletek alapjainak megteremtése, amelyek lehetővé teszik a műveletek másokon keresztül történő meghatározását. Például az alapja Lukasevics - együttes három művelete. diszjunkció és negáció. Ezenfelül vannak olyan bázisok, amelyek egyetlen műveletből állnak, ezért a felsorolt műveletek meghatározhatók egy ilyen operátor alapokon keresztül. Számukra például: Pierce nyíl (NOR - nem VAGY) és Scheffer (NAND - nem AND) lökete. Teljesen az első rend klasszikus logikáján is a kvantálók egyike a negáció által meghatározható.
Az alábbiakban találhatók azok az alapvető képletek, amelyek révén a műveleteket egymás között határozzák meg. Mindezek a képletek csak logikai funkciók (a bivalencia törvénye szerint). De a bivalencia törvénye nem működik az intuíciós logikában, mert elfogadja a konzisztencia törvényét. Ennek eredményeképpen a klasszikus logika számos identitása az intuíciós logika, csak a következmény egyik irányával (bár vannak egyenértékűségi tételek). Ezek a tételek:
- A kapcsolódás és a diszjunkció összekapcsolódása:
- \ (\ phi \ wedge \ psi) \ to \ neg (\ neg \ phi \ vee \ neg \ psi) \)
- \ (\ phi \ vee \ psi) \ to \ neg (\ neg \ phi \ wedge \ neg \ psi) \)
- \ (\ neg \ phi \ vee \ neg \ psi) \ a \ neg (\ phi \ wedge \ psi) \)
- \ ((\ neg \ phi \ wedge \ neg \ psi) \ leftrightarrow \ neg (\ phi \ vee \ psi) \)
- A kapcsolat és a következtetés közötti kapcsolat:
- \ (\ phi \ wedge \ psi) \ to \ neg (\ phi \ to \ neg \ psi) \)
- \ (\ phi \ to \ psi) \ a \ neg (\ phi \ wedge \ neg \ psi) \)
- \ (\ phi \ wedge \ neg \ psi) \ a \ neg (\ phi \ to \ psi) \)
- \ ((\ phi \ to \ neg \ psi) \ leftrightarrow \ neg (\ phi \ wedge \ psi) \)
- A kapcsolat és a következmény közötti kapcsolat:
- \ ((\ phi \ vee \ psi) \ to (\ neg \ phi \ to \ psi) \)
- \ ((\ neg \ phi \ vee \ psi) \ to (\ phi \ to \ psi) \)
- \ (\ neg (\ phi \ to \ psi) \ to \ neg (\ neg \ phi \ vee \ psi) \)
- \ (\ neg (\ phi \ vee \ psi) \ leftrightarrow \ neg (\ neg \ phi \ to \ psi) \)
- Az egyetemesség és a létezés számszerűsítői közötti kapcsolat:
- \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- \ (\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- \ (\ \ \ x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
- \ (x \) \ leftrightarrow \ neg (\ létezik x \ \ phi (x)) \
A tisztázáshoz a következő példák tekinthetők. A matematikai intuicionizmus nyilatkozat «vagy a b» erősebb, mint a nyilatkozat „, ha nem, akkor b», az alábbiak az első pillanatra, de nem fordítva (a klasszikus logika ezen állítások azonos). Másrészről a "nem (a és b)" kifejezés megegyezik azzal, hogy "nem egy vagy nem b" -t mond, mert mindegyik követheti a másikikat.
Következmény számítása [szerkesztés]
Gerhard Gentz megállapították, hogy a jelenléte egy egyszerű határt a szervezetében \ (LK \) (a kalkulus következmények klasszikus logika) vezet az a tény, hogy a rendszer teljes szempontjából matematikai intuicionizmus. Ezt az új rendszert korlátozásként hívta \ (LJ \).
Az intuíciós logika szemantikája bonyolultabb, mint a klasszikus logika. Egy elméleti modell leírható Heiting algebra segítségével, vagy azzal egyenértékű jelöléssel Kripke szemantika formájában.
Heiting algebra szemantikája [hivatkozás szükséges]
A klasszikus logikában az igazságértékeket gyakran tárgyalja. amely elfogadja a változókat. Az ilyen értékeket általában a logikai algebra ábécéjének értékeiből választják ki. összefüggésben és a szétválás működés jelöljük Boole algebra \ (\ és \) és \ (\ vagy \) illetve, hogy a képlet \ (A \ B \) jelentése diszjunkcióját két igazság értékeket (\ (A \) és \ (B \)) a logikai algebra. Ebben az esetben van egy tétel, amely azt mondja, hogy a képlet szabályos a klasszikus logikában, ha és csak akkor, ha értékei megegyeznek a \ (1 \) értékekkel a benne levő változók minden igaz értékével.
A megfelelő tétel az intuíciós logikában is igaz, de a logikai algebra értékei helyett a Heiting algebra értékeit használják. amelyek esetében a logikai algebra egyedi eset. A képlet helyes az intuíciós logikában, ha és csak akkor, ha a benne lévő változók minden igaz értékére visszaadja a Heiting algebra legmagasabb elemének értékét.
Meg lehet mutatni, hogy annak érdekében, hogy bizonyítani a helyességét a képlet, elegendő, hogy megtalálják Heitinga egyszerű algebra, melynek elemei halmazok egy egyszerű sík \ (R ^ 2 \). Ebben algebra műveletek \ (\ és \) és \ (\ vagy \) megfelelnek a kereszteződést, és az unió a készletek, és a képletek értékét \ (A \ rightarrow B \) az expressziós \ ((A ^ C \ cap B) ^ \), azaz, a kereszteződésekben a belső \ (B \) és a komplement a \ (a \). A legalacsonyabb elem az üres szett, a legfelső az univerzum \ (R ^ 2 \). Negation általában úgy definiálják, mint a \ (\ neg A \ ekv A \ rightarrow \ üres \), ezért a tagadás csökken az expressziós \ (A ^ \), ez a belső a komplement a \ (A \).
Például, a képlet \ (\ neg (A \ és \ NEG A) \) helyes, mert lényegtelen amely készletet választjuk a érték a beállított \ (A \), az értéke ez a képlet a teljes kétdimenziós síkban: $$ Érték (\ neg (A \ és \ NEG A)) = $$ $$ (érték (A \ és \ NEG A)) ^ = $$ $$ (Érték (A) \ sapka érték (\ neg A)) ^ = $$ $ $ (X \ cap (érték (A)) ^) ^ = $$ $$ (X \ cap X ^) ^ $$
Egy tétel topológia azt mondja, hogy \ (x ^ \) egy részhalmaza \ (X ^ C \), így a kereszteződés üres: $$ \ üres ^ = (R ^ 2) ^ = R ^ 2 $$
Így a képlet tautológia a bejövő változók bármely igazságértékére.
Azt is kimutatható, hogy a kizárt harmadik törvénye az intuíciós logikában helytelen. Ennek érdekében a (\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
A fent leírt végtelen Heiting algebra lehetővé teszi az összes intuíciós logika helyességének igazolását, függetlenül attól, hogy milyen igazságértékeket rendelnek a képletekben lévő változókhoz. Ezzel szemben egy helytelen képlet esetén van mód arra, hogy az igazságértékeket képletváltozókra állítsuk be, ami ennek a képletnek a helytelen értelmezéséhez vezet. Azt is kimutatható, hogy a véges Heying algebrák egyikének nincs ilyen tulajdonsága.
Kripke szemantikája [szerkesztés]
Alapján szemantikája a modális logika Saul Kripke létrehozott egy másik szemantikája a matematikai intuicionizmus, ismert a neve - „Kripke szemantikája” vagy „relatív szemantikája” [1].