A gravitáció illúziója
Ebben a figurában Escher Moritz hiperbolikus teret ábrázolt. Valójában minden hal azonos méretű, és a körkörös határ végtelenül messze van a lemez közepétől. A hiperbolikus tér sík vetületén az eltávolított halak összezsugorodnak, így a végtelen tér illeszkedik a végső körbe.
Ha építeni egy képet tömörítés nélkül, a tér lesz erősen hajlott, és minden kis területen lesz egy nyereg alakú további redők (kép www.oko-planet.spb.ru oldalon)
Egy jól ismert euklideszi geometriában a tér lapos (azaz nem ívelt). Bizonyos mértékig ez a körülöttünk lévő világra is igaz: a párhuzamos vonalak soha nem metszenek, és az Euklid összes többi axiómája elégedett. Ismeri az ívelt helyeket. A görbület pozitív és negatív lehet. A pozitív görbületű legegyszerűbb tér olyan gömb felülete, amely állandó pozitív görbülettel rendelkezik, azaz ugyanolyan ívelt minden ponton (ellentétben például egy tojással, amely nagy görbületű az akut végén).
A legegyszerűbb, állandó negatív görbületű helyet hiperbolikusnak nevezik. Az egyik festményén Moritz Escher egy ilyen tér sík térképét ábrázolta. A halak éleiben kisebbek és kisebbek, mivel az ívelt tér deformálódik, ha lapos papírlapon jelenik meg. Hasonlóképpen a földgömb térképén a pólusok közelében lévő országokat megnyújtják.
Hasonlóképpen figyelembe lehet venni a pozitív vagy negatív görbületű téridőt is. A legegyszerűbb térbeli időt pozitív görbületgel a de Sitter térségnek hívják Willem de Sitter holland fizikus tiszteletére. Sok kozmológus úgy véli, hogy a nagyon korai univerzum közel áll a de Sitter térhez. A távoli jövőben a kozmikus gyorsulás miatt ismét hasonlóvá válhat. A legegyszerűbb téridőt negatív görbületnek nevezzük az anti-de Sitter térnek (vagy röviden - ADS-space). Hasonló a hiperbolikus, de az idő tengelyét is tartalmazza. A bővülő világegyetemetől eltérően az ADS-tér nem bővül, nem csökken, és mindig ugyanúgy néz ki. Mindazonáltal nagyon hasznos a tér-idő és a gravitáció kvantumelméletének kifejlesztésében.
Ha hiperbolikus teret képviselünk Escher képéhez hasonlító lemez formájában, akkor az ADS-tér úgy fog kinézni, mint az ilyen lemezek kötege, és szilárd hengereket képez. A henger mentén történő mozgás megfelel az időváltozásnak. A hiperbolikus térnek több mint két dimenziója lehet. Az ADS-tér, amely leginkább a téridőhöz hasonlít (három térbeli mérettel), háromdimenziós "Escher-képet" ad a "henger" keresztmetszetében.
A fizika az ADS-térben kissé szokatlan. Szabadon mozoghatott benne, a megfigyelő úgy érezhette magát, mint egy gravitációs kút alján. Minden általa dobott tárgy visszajönne bumerángként. Érdekes, hogy a szükséges idő a visszatérő, nem függ az erőt, amely egy tárgy dobták. Azonban, annál nehezebb dobni, annál tovább repül előre-hátra. Ha a lakosság a bizarr világot történt, hogy világítsanak a lézer valahol az űrben, a fotonok mozog a fény sebessége eléri a végtelenhez, és visszatért a sugárforrás véges idő alatt. Az a tény, hogy az ADS-űrobjektumokban távolodik a megfigyelő, egyre rövidebb idő.
A holografikus elméletben negatívan ívelt téridő (anti-de Sitter tér vagy ADS-space)
Képzeld el a hiperbolikus tér lemezeit, egymásra rakva. Minden egyes lemez a világegyetem állapotát képviseli egy adott időpontban. Az eredményül kapott henger egy háromdimenziós ADSpace, amelyben az idő tengely a generátor mentén irányul. A fizika egy ilyen időszakban kissé szokatlan: egy részecske (például egy teniszlabda, zöld vonal), amelyet a középpontból dobtak ki, mindig visszatér egy bizonyos ideig. A lézersugár (piros vonal) eléri a világegyetem határait és visszatér ugyanabban az időben. A négydimenziós ADSpace-ben, amely jobban hasonlít a mi univerzumunkra, a határ egy adott időpontban nem kör, hanem gömb.