Cubic splines - stadopedia
A hajlítás vizsgálata során a görbületet magasabb rendű görbével kell ábrázolni. Ebben az esetben a funkció köbös spline-jét gyakran alkalmazzák, ha a függvényt minden egyes elemi intervallumban egy köbös polinom segítségével interpoláljuk. Az Ox tengely egy szegmensén egyenletes rácsot határoznak meg egy lépéssel. a csomópontokon beállítjuk a függvény értékeit. a szegmensben meghatározott.
Minden egyes elemi szegmensben a függvényt függvény helyettesítjük. megfelel az alábbi feltételeknek:
1. folytonos az első és másodrendű származékaival;
2. mindegyik intervallum egy köbös polinom:
3. Az egyenlőség a csomópontokon meg van elégítve;
4. Megfelel a határfeltételeknek.
Négy ismeretlen együtthatót kell találnunk, amelyek bizonyítják, hogy egy köbös spline-nek a problémája egyedülálló megoldást jelent.
Megköveteljük a harmadik feltétel teljesülését, a funkció értékeinek egybeesését a csomópontokban, táblázatos értékekkel;
A kapott 2n egyenletek száma az ismeretlen együtthatók számának a fele. A fennmaradó egyenletek megfogalmazásához minden esetben a spline-származékok folytonosságának első feltételét használjuk. A bal és jobb származékokat a xk belső csomópontban azonosítjuk. Miután először kiszámítottuk a származékok kifejezését a (6.1) egymást követő differenciálásával,
Találjuk meg a jobb és bal származékokat a csomóponton:
A bal és a jobb származtatással egyenlő:
Az egyenletek (6.6) további 2 (n-1) feltételeket adnak. A hiányzó egyenletek megszerzéséhez követelményeket támasztunk a spline viselkedésére a szegmens végein. Nulla görbület esetén, ha a második származék nulla, például:
A ismeretlen ismeretlenek kiküszöbölése a (6.2) - (6.6) egyenletekből. kapunk egy 3n egyenletrendszert:
Ennek a rendszernek a megoldásakor megtaláljuk az ismeretlen, ak, bk, ck értékeket, amelyek meghatározzák a kívánt interpolációs görbét
A spline-együtthatók kiszámításához a Mathcad-ban az együtthatókat viselő függvények a következők:
Mindezen funkciókban az x egy abszcissza. és y a kísérleti pontok koordinátáinak tömbje. A spline-együtthatók kiszámítása után kiszámíthatjuk az interpolációs polinomiális értéket egy adott t pontra, az interp (x, U, P, t) függvényre hivatkozva, ahol x egy spline-együtthatók csoportja
6.1. Példa Az alapjárati élmény eredményeképpen egy tábla van definiálva a hálózati feszültség függvényében az U kimeneti feszültségnél indukciós motor esetén. Létre kell hozni az interpolációs függőség grafikáját. A megoldás során a beépített spline approximation funkciókat használjuk a Mathcad-ban
Ezeket a funkciókat grafikonokból állítjuk össze.