Saját számok és véletlenszerű séták, férfi és hajó matematikai kiadás
Tekintsünk egy nem irányított rendszeres gráfot (minden fokú ugyanazon fokú csúcs esetében) egy összefüggő grafikonra. Érdeklődni fogunk a véletlenszerű séták viselkedésétől (egy véletlenszerű séta ilyen egyszerű folyamat: néhány csúcsra jut, majd többször kiválaszthatunk egy véletlen élt és megyünk vele). Legyen a valószínűségi eloszlás a csúcsokon. Hogyan néz ki a valószínűségi eloszlás egy véletlen séta egy lépése után? Nagyon egyszerű: vektor lesz, ahol a függőségi mátrix osztva van.
Mivel rendszeres, a véletlen séta helyhez kötött eloszlása egységes lesz. A megfelelő vektorok esetében minden összetevő egyenlő lesz - meg fogjuk jelölni.
Érdeklődni fogunk a csúcspontok közötti egyenlőség konvergenciájának mértékétől az egységesig. Például értékeljük. Ehhez vegye figyelembe a következő fontos jellemzőket:
Kiderül, hogy minél kisebb, annál gyorsabb az eloszlás az egységes eloszláshoz. De először meg kell állapítanunk a saját számaink közötti kapcsolatot.
Mivel szimmetrikus, orthonormális alapja a sajátvektoroknak. Ezt jelöljük, és a megfelelő sajátértékeket. Ezt feltételezzük.
A mátrix sztochasztikus (minden elem nem negatív, minden sor és oszlop összege egy), míg a sztochasztikus mátrixok esetében, mivel könnyen érthető, a sajátértékek nem haladják meg a modulo értéket. Úgy értjük, hogy y rendelkezik egy rögzített ponttal - vektorral. Így azt feltételezhetjük, hogy és.
Kiderül, hogy. Valójában a vektorok alrendszere, amelyek ortogonálisak a lineáris tartományban. A kiterjeszti a vektorokat ebből a subspace-ből, nem többre.
Most vesszük fontolóra a disztribúció konvergenciájának mértékét az egyenletre (). Mivel - a valószínűségi eloszlás, akkor lehetséges, hogy azt a formában, ahol. Most tegyünk egy ilyen egyszerű értékelést:
Az utolsó átmenet helyes, mivel a vektorok ortogonális alrendszere invariáns. Továbbra is meg kell jegyeznünk, hogy akkor, akkor, és ezért.
Így megkapjuk a következő becslést:
.
Tehát ha azt akarjuk bizonyítani, hogy egy véletlenszerű séta gyorsan egy egyenletes eloszláshoz igazodik, akkor be kell bizonyítanunk, hogy elég kicsi.
Kiderül, hogy a következő állítás igaz: ha a kapcsolódó grafikonnak minden csúcsán huroknak kell lennie, akkor ezt (ezt a következő bejegyzésben bizonyítani fogjuk). Ezért nem nehéz elérni, hogy egy véletlenszerű hosszúságú séta nagy valószínűséggel meglátogassa a grafikon összes csúcsait.