A számsorozat és annak konvergenciájának meghatározása

Egy egyenlet megközelítő megoldása egy ismeretlen értékkel

1. Legyen F (x) algebrai vagy transzcendentális függvény. Keresse meg az érvelés azon értékeit, amelyekhez. Az F (x) függvénynek kétszer differenciálhatónak kell lennie legalább a gyökerek közelében.

Az F (x) = 0 megközelítő megközelítési módjai alapvetően két szakaszból állnak.

Az első szakasz. A gyökér ágai, vagyis egy olyan intervallum megtalálásának, amelyen belül csak egy gyökér van. Ezt az intervallumot a root izolációs intervallumnak nevezzük.

A második szakasz. A hozzávetőleges érték finomítása, vagyis az izolációs intervallum meghatározott előre meghatározott pontosságú szűkítése.

2. A gyökerek szétválasztása azon a tényen alapul, hogy ha az egyenlet gyökere F (x) = 0, akkor az argumentum értékeihez az F (a) és F (b) függvények értékei különböző jelek lesznek.

1. példa Válassza el az egyenlet gyökereit.

A megoldás. A függvény értékeinek táblázatát különféle önkényesen kiválasztott értékekre állítjuk össze.

Megállapítottam, hogy -2 és 0 között, 0 és 3 között van legalább egy gyökér.

3. A gyökerek grafikus elválasztása. Miután megépítettük az y = F (x) függvény grafikonját, meg tudjuk határozni az abszcisszán belüli metszéspontjait, vagyis a gyökér hozzávetőleges értékeit.

Néha az F (x) = 0 egyenlet egyenértékû egyenlettel helyettesíthetõ. A grafikonok metszéspontjainak abszcisza az eredeti egyenlet gyökere lesz.

2. példa Válasszuk el az egyenlet gyökereit.

A megoldás. Újraírjuk az egyenletet az űrlapon, megépítjük a függvény grafikonjait.

Ellenőrizzük, hogy a feltárt intervallum pontosan egy gyökeret választja-e el, ezért meg kell vennünk az első származékot, és meg kell őriznünk, hogy megtartja-e a jelet az intervallumon, vagyis, hogy az y és x jelei azonosak-e.

Ezért az egyenlet gyökere izolálásának intervalluma.

4. A gyökerek tisztázását egy iteratív módszerrel végezzük, amely a kezdeti izolációs intervallum segítségével lehetővé teszi számunkra, hogy az intervallumhoz tartozó szűkebb intervallumot találjunk stb. Ez különböző módokon történhet.

Félosztásos módszer

A félosztás módszere az, hogy a gyökerek elválasztásakor megállapított izolációs intervallum. oszd meg durván (vagy pontosan) félig. A középpontban határozzuk meg az F (c) függvény jelét, és az elkülönítési intervallum következő értékét vegye fel a félnek vagy. amelynek végein a funkció különböző jelekkel rendelkezik. A megtalált intervallum is megérkezik, vagyis félig osztja stb., Amíg a hossza el nem éri a megadott pontosságot, vagyis amíg az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor a, ahol az egyenlet kívánt gyökere , a megadott pontosság.

A félosztásos módszer mindig konvergál, de nagyon hosszú számításokat igényel. A számítások kis mértékű pontossággal használatosak.

3. példa Csökkentse a 2. példában található gyökér izolációs intervallumot úgy, hogy a hossza nem haladja meg a 0,1-et.

, gyökér; . Körülbelül az intervallum közepét veszünk, kiszámoljuk. Az új izolációs intervallum lesz. Megint a közepén. Szóval, szűkebb, mint az elkülönítés grafikusan megállapított intervalluma.

A gyökér egyenlő 0,65 pontossággal, pontossággal = 0,01 vagy hiba esetén.

Az akkordok és tangensek módszere

Ez a kombinált módszer a gyökér finomításának leghatékonyabb módja. Ennek a módszernek a geometriai jelentését az 1. ábra szemlélteti. 2.

Az érintő és az akkord metszéspontja új szűkebb elkülönítési időszakot ad :. Ebben az intervallumban is lehetséges egy akkordot és egy tangent megalkotni, amely intervallumot ad stb., Amíg az egyenlőtlenség nem teljesül.

Nyilvánvaló, hogy az érintő és az akkord az ív különböző oldalain futnak, és hogy az érintőnek a függvénygrafikon domborzatából kell származnia.

Az izolációs intervallum határainak kiszámítása a séma szerint történik

A mennyiségeket korrekcióknak nevezik, és a konvexitás irányából számítják ki a következő képletekkel összhangban

ahol - az elválasztási intervallumok határai a gyökér elválasztás során. A számításokat az egyenlőtlenség teljesítéséig végzik.

A gyökér értéke megegyezik a szegmens közepével

Ugyanakkor meg kell.

Az akkordok és a tangensek módszere a gyökér pontos értékéhez igazodik az alábbi feltételek mellett:

1. F (x) monoton, vagyis nem változik a jel.

2. F (x) megőrzi a konvexitás irányát, vagyis nem változik a jel.

3. Ne légy nagyon nagy.

4. Nem túl közel nulla.

5. A kezdeti közelítés eléggé közel van a gyökérhez, vagyis az izolációs intervallum elég kicsi.

A módszer hibája megegyezik a kerekítés hibájával, amely az utolsó iteráció során következett be. A véletlenszerű hibák nem befolyásolják a számítások pontosságát.

A számításokat egy tartalék számjegy alapján kell elvégezni.

1. Az egyenlet megoldásának első szakaszában a gráfot a lehető legpontosabban kell megfogalmazni. Miután megtalálta a gyökér izolációs intervallumot, meg kell győződnie arról, hogy az intervallum végén lévő F (x) függvénynek különböző jelei vannak. Ha ez a feltétel

ellenőrizni kell a tervrajz helyességét.

2. A gyökér meghatározásakor biztosítani kell, hogy a szekvenciák monoton jellegűek legyenek, és

. A szekvenciáknak szintén monoton módon csökkennie kell.

3. Ajánlatos figyelni a mennyiségek jeleit. Ezeknek a mennyiségeknek meg kell őrizniük ugyanazt a jelet, Ennek a feltételnek a megsértése azt jelenti, hogy "jumping" a gyökéren keresztül, ami lehet a számítási képletek helytelen kiválasztása, számtani hiba vagy kerekítési hiba. Az utolsó hiba elkerülése érdekében a korrekciók kerekítését az abszolút érték csökkenésének irányába kell tenni.

Feladat. Tekintsük az F (x) = 0 egyenletet, találjuk meg ennek az egyenletnek a gyökét az e pontosságával.

1. Legyen az y = F (x), vagy

2. Határozza meg az [a; b], amely elkülöníti a grafikonok metszéspontjának abszcisszáját.

3. Ellenőrizze, hogy a szegmens végein az eredeti funkció különböző jelekkel rendelkezik.

4. Az izolációs intervallumot úgy kell csökkenteni, hogy a félosztásos módszerrel a hossza 0,1 legyen. A kapott intervallum kezdeti.

5. Keresse meg a származékokat. Ellenőrizze, hogy a jelek mentésre kerültek-e. Jelölje meg ezeket a jeleket.

6. Válassza ki az akkordok és tangensek módszerének számítási képletét.

7. Húzza ki és töltse ki a számítási űrlapot (lásd a 3. példát).

8. A válasznak tartalmaznia kell a gyökér értékeit, a függvényeket a gyökérben és a hiba becslést.

4. példa Az egyenlet kisebb gyökerét pontossággal számoljuk ki.

1. A gyökerek grafikus szétválasztása és az izolációs intervallum finomítása a fenti egyenlethez.

2. Ellenőrizzük az akkordok és tangensek módszerének alkalmazhatóságát erre az egyenletre.