A származékos problémák megoldása
A nagy orosz matematikus PL Chebyshev egyik műveiben azt írta, hogy különös jelentőségűek azok a tudománymechanizmusok, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy megoldjuk az ember minden gyakorlati tevékenységével közös problémát? Hogyan szedheti el eszközeit a lehető legnagyobb haszn elérése érdekében? Ezekkel a feladatokkal foglalkozik a legkülönbözőbb szakemberek képviselőivel. A mérnökök-technológusok arra törekszenek, hogy a termelést úgy szervezzék meg, hogy a lehető legnagyobb mértékben a lehető legtöbb termelést hajtsák végre a meglévő gépparkban. A tervezők az agyukat állítják, és igyekeznek a legkönnyebb eszközt létrehozni az űrhajóban. A közgazdászok arra törekednek, hogy tervezzék a növények forráshoz való kötődését, így a szállítási költségek a legkevésbé.
De nem csak az embereknek kell megoldaniuk a hasonló problémákat. Tudatlanként néhány fajta rovar és más élőlény megbirkózik velük. Például a méhsejtek alakja olyan, hogy egy adott térfogat számára a legkevesebb viasz mennyisége van. És bár a méhek nem tanulmányozták a magasabb matematikát, a megvethetetlen természetes szelekció vezetett ahhoz a tényhez, hogy csak a méhek maradtak fenn, akik a legkevesebb erőfeszítést töltötték a méhsejtek építésére.
A méhek segítenek feladataik megoldásában. Az ember különbözik attól, hogy elméje a segítségére kerül. Matematikusok sikerült módszerek kifejlesztésében problémák megoldására a legmagasabb és a legalacsonyabb érték, vagy ahogy ők nevezik, feladatok optimalizálása (a latin „optimális” - a legjobb), mert a szavai P. Chebyshev, a legtöbb kérdésre a gyakorlatban azt jelenti, hogy a probléma a legnagyobb és a legkisebb értékek, és csak ezeknek a problémáknak a megoldásával tudjuk eleget tenni a gyakorlat követelményeinek, amelyek mindenhol a legjobb, a leginkább jövedelmező
Példákat adunk a problémákra.
A kerek naplóból kivágják a legnagyobb terület téglalap alakú szakaszát. Keresse meg a gerenda szakaszának méretét, ha a rúd szakasza sugara R cm.
Megoldás: Jelölje a téglalap szélességét x-vel, majd h magassága egyenlő:
és az S = ab képletnek megfelelő téglalap területét a következő képlet adja meg:
A probléma megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az x értéket, ahol a függvény a legnagyobb értéket veszi fel.
Megtaláljuk a függvény deriváltját
A származék létezik a 0 0;
- a sugár szélességének optimális (legjobb) értéke.
- a gerenda magassága, amelynek legnagyobb erõssége van. Ezért a hornyolt gerenda magasságának az a szélessége, amelyet az építési munkákra vonatkozó szabályok írnak elő.
Egy másik feladat a nyilvánvaló gyakorlati fókusz.
A négyzet alakú négyszögletes négyszög alakú négyszög alakú nyitott tartálynak V l-t kell tartalmaznia. folyadék. Milyen méretű tartályra van szükség a legkevesebb fémmennyiségre?
Megoldás: Legyen ABCDA1B1C1D1 legyen egy adott nyitott tartály, négyszögletes négyszögletes, négyszögletes párhuzamos alakban: AB = AD = x; AA1 ((ABC), AA1 = H.
Ha a tartály előre meghatározott térfogata V, akkor
A termeléshez szükséges fémmennyiség függvénye annak méretétől, amelyet az oldalfelület és a bázis területeinek összegeként találunk:
A kapott S (x) függvényt a legkisebb értékre vizsgáljuk:
Tehát az V térfogatú tartály méreteivel és előállításához a legkisebb mennyiségű fém szükséges.
A fúrótorony 9 km-es területen található. a legközelebbi autópálya ponttól. A fúrásnál futárat kell küldeni egy 15 km-re lévő autópálya mentén fekvő településre (az autópálya egyenest tekintve). A futár sebessége 8 km / óra a kerékpáron és az autópálya mentén 10 km / h. Az autópálya pontján a lehető legrövidebb idő alatt el kell mennie ahhoz, hogy elérje a települést?
Legyen x km. - ezen a ponton a H ponttól (az autópálya legközelebbi pontjától a pályaudvarról) van egy P pont, amelyre a futárnak a lehető legrövidebb idő alatt el kell érnie a C települést, majd:
- a toronytól távol a toronytól a P pontig az autópályán;
h - az a határidő, amelyen ezt a távolságot 8 km / h sebességgel tudják leküzdeni.
- a P-C ponttól az autópálya mentén levő távolság;
h - az a határidő, amelyen a futár az RS-en keresztül halad az autópályán;
- a teljes utazási idő B-ről C-re, ami az x változó függvénye, és amelyet a feltételt a legkisebb érték mellett kell vizsgálni.
Tehát a futárnak el kell mennie a P ponthoz, amely a legközelebbi pont a 12 kilométeres pályán lévő úton van.
Ezek az egyszerű, de meggyőzően megerősítik gyakorlati értéküket az iskolai tanfolyam optimális feladatai miatt érdeklődnek számukra.
Mikor jelentek meg, és mi a szerepe a matematikai tudomány fejlődésében?
Mint kiderült, a legnagyobb és minimális problémák tanulmányozása régóta - huszonhat évszázaddal ezelőtt (2) kezdődött a matematikában. Így például a klasszikus isoperimetriás probléma - Dido problémája, a Kr. E. V. században tárgyalták. e. (Az isoperimetriás adatok azonos körzetszámú számok). A legenda szerint Dido föníciai hercegnő, aki a bátyja üldöztetéséből távozott, nyugat felé ment a Földközi-tenger mentén, menedéket keresve. Szerette egy helyet a jelenlegi Tunéziai-öböl helyén. Didona vezette a tárgyalásokat a helyi vezető Yarbom a földvásárlás. Nagyon keveset kért - annyit, amennyit csak tudsz "körülölelni a bika bőrén". Didone sikerült meggyőznie Yarbát. Az üzlet megtörtént, majd Didona vágta le a bika bőrét kis szalagokra, összekötötte őket és körülvett a hatalmas területet, amelyen az erődet megalapították, és közel volt Carthage városához.
Miért "körülvéve"? Még azokban a napokban matematika Püthagorasz, Arkhimédész, Arisztotelész, Zenodorus bebizonyította, hogy a hatálya alá tartozó terület egy adott hosszúságú bármilyen zárt görbe nem haladja meg egy kör alakú területen, a kör, amely az azonos hosszúságú. „Halad” bizonyította, hogy ha van egy lapos n-sokszög, amelyek a legnagyobb területen az összes n -gons egy előre meghatározott kerülete, meg kell egyenlő oldalú és egyenlő szögű.
Valójában a tér az iskola tankönyve egy olyan modern, isoperimetriás probléma megoldása:
Az 1 m hosszúságú huzal hajlítása úgy történik, hogy egy téglalap alakul ki. Mennyi ideig kell a téglalap oldalai, hogy a terület a legnagyobb?
Hagyja ABCD = l m kerület, majd a mérő két szomszédos oldalának összegét. Ha xm az egyik oldal hossza, akkor () m a másik hossza.
A terület olyan függvény, amelyet meg kell vizsgálni az intervallum (0;) legnagyobb értékére.
- Az S (x) függvény kritikus pontja,
- maximum, azaz ha a funkció a legnagyobb értéket veszi fel.
Ha. akkor. - Az oldalak ugyanazok. A peremterület legnagyobb négyzetének négyzetes oldala van.
A GERON probléma: A vonal l oldalán két pont van megadva: A és B. Meg kell találni az A pontot úgy, hogy az A-tól D-ig és a B-től az A-ig terjedő távolságok összege a legkisebb legyen.
1) Olyan B1 pontot alakítunk ki, amely szimmetrikusan B-re vonatkoztatva.
2) Csatlakoztassa az A és a B1-et, majd.
A D pontot keresik; Az AD + BD a legkisebb összeg.
Bármely D1 pontot tekintjük l. Összehasonlítjuk az AD + DB és AD1 + D1B távolságok összegeit:
AD1 + D1B = AD1 + D1B1, mivel D1 B = D1 B1.
АД1 + D1В1> АВ1 (АД1В1), de АВ1 = АD + DВ1 = АD + DВ, DВ1 = DВ.
Tehát AD1 + D1B1> AD + DB; AD1 + D1B> AD + DB minden olyan D1 pontnál, amely eltér a D-től. Ezért az AD + DB az A-tól D-ig és a B-től D-ig terjedő legkisebb távolságösszeg.
Kifogásolható értékes problémák a legmagasabb és a legmagasabb matematikai tudományok mélységében - geometria.
"Ebben írd meg a legnagyobb terület AMNK parallelogramját" (2).
És ma úgy tudjuk megoldani.
Megoldás: Hagyja be (ABC AC = b; BB1 = H - magasság (ABC.
Az AK hosszúságát x, 0 0 jelöli.
Olyan függvényt kaptunk, amelyet a legnagyobb értékkel kell vizsgálni:
- a szobor láthatóságának legnagyobb pontja a megfigyelő számára méteres távolságban lesz. a talapzat talapzatától.
Ha a = 3; b = 2. 5; c = 1. 5, akkor == 2 (m).
Ha a = 6; b = 3. 7; c = 1. 7, akkor == 4 (m).
Miért kerültek fel, és miért oldottak meg ilyen feladatokat? Mi vonzza őket? Miért szeretnénk a lehető legtöbbet és minimálisan foglalkozni a feladatokkal?
Ez nem annyira könnyű megmagyarázni, de a tény továbbra is fennáll, hogy a matematika történetében a szélsőségek problémái felkeltették érdeklődésüket és a vágyat, hogy megoldják őket. Talán az egész az, hogy egy ember törekszik a tökéletességre, hogy van valami titokzatos inger, hogy felfogja a "lényeg"?
És talán extrém problémák mindig, vagy legalábbis gyakran van valami elegáns, vonzó, valami, hogy a szépség, ami az, hogy a matematika egyszer azt mondta Russell, aki beszélt nem csak az igazság, hanem a legfelsőbb szépség, elérhető csak a legnagyobb művészet.
Talán ez motiválja a problémákat a maximális és a minimális problémák megoldására.