A konvergencia sugara és a konvergencia kör
és ha | z | <|z0 |, то ряд |z |/|z0 | n сходится, ибо является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ее знаменатель |z |/|z0 | n = |z |/|z0 | <1). Поэтому по признаку сравнения сходимости рядов из неравенства (32.5) следует, что сходится ряд |an zn |, т. е. ряд (32.2) абсолютно сходится (рис. 127).
A következtetés egyszerre következik a tételből: ha a sorozat (32.2) eltér a z0 ponton, akkor | z |> | z0 | nem tud konvergálni a z ponton. azóta a z0 pontban konvergál (sőt teljesen) a bizonyított teoremmel.
A teljesítménysorozatot (32.2) tekintjük. Nyilvánvalóan konvergál a z = 0 ponton. X-vel jelöljük az összes valós nemnegatív számot xR. hogy z = x esetén a sorozat (32.2) konvergál. Mivel 0 X. majd
X. enged
Nyilvánvalóan 0 Ha R = +, akkor a zC pontok olyanok, hogy | z |> R. no. Ha R <+ и zC таково, что |z |> R., akkor minden olyan x pontra, ahol az R akkor megmutatjuk, hogy a sorozat (32.2) egyenletesen konvergál a lemezen | z | Az egyenlőtlenségből (32.7) a fent leírt konvergencia sugárzásának tulajdonsága alapján következik, hogy a sorozat (32.2) abszolút konvergenciát mutat a z = r-vel, vagyis a rn konvergens sorozata konvergál. (32.2) azt jelenti, hogy a sorozat (32.2) egyenletesen konvergál a z lemezhez. | z | Abszolút konvergenciájának vizsgálata érdekében alkalmazzuk az d'Alembert-tesztet (30.4. Következésképpen a sorozat (32.9) csak z = 0 konvergenciát mutat, ezért a konvergencia sugara nulla: R = 0. egyenlő +, mivel a 31.1 alfejezetben kimutatták, hogy ez a sorozat minden zC-hez konvergál. egyenlő 1, mivel a sorozat (32.11) konvergál a | z | esetén <1 и расходится при |z |> 1 (30.1., 30.2. Bekezdés). A z. | z | = 1> a konvergens körből, amit | z | = 1, és ennek következtében a sorozat (32.11) szekvenciája nem hajlamos nullára, amiből következik, hogy a sorozat (32.11) a konvergenciakörének minden pontján elhatárolódik. a konvergencia sugara szintén 1. Valójában a | z | -hoz <1 выполняется неравенство és következésképpen az egységes Weierstrass konvergencia kritériumának megfelelően a sorozat (32.12) egyenletesen konvergáló, ezért konvergál. A | z |> 1 esetében megegyezik a | zn | / n 2 = +, vagyis a sorozat konvergenciájához szükséges feltétel nem érvényes (lásd a 30.2. Tételt), így a | z | > 1 különbözik. megtalálható az alembert-teszt alkalmazásával: van Ezért a sorozat (32.14) a | z | -hoz konvergál <1 и расходится при |z |> 1. Így R = 1. Mivel egy pont szomszédságának meghatározása szerint minden pont eléggé közel van egy adott ponthoz a szomszédságához, az írássor konvergenciája sugara pozitív. és a tétel hipotézisével az Rn sorozata konvergál. Mivel ez a sorozat számszerű, annak konvergenciája egyenletes konvergenciának tekinthető a [0, R] intervallumon. sorozat és monoton a x [0, R] esetén. Következésképpen az egységes Abel-konvergencia kritériumának (3.3.3.3.) Alapján a sorozat (32.2) egyenletesen konvergál a [0, R] -re. Így a (32.16) -ból (32.17) és (32.18) a "formális integráció és differenciálódás" révén előállított sorozatok ugyanolyan konvergenciájú sugarakkal rendelkeznek, mint az eredeti sorozat. Az integrációt és a differenciálódást formálisnak nevezik itt, mivel egy komplex érvelés függvényében ezeket a műveleteket nem definiáltuk, és azokat úgy állítottuk elő, mintha egy és z valódi szám lenne. Ebből következik, hogy ha a pont Z abszolút konvergens sor (32.16), majd ezen a ponton abszolút konvergens sor (32,17), ami azt jelenti, hogy a sugara konvergenciájának R1 sor (32,17) nem kisebb, mint a sugara konvergenciájának R sorozat (32.16): R1> R. Az egyenlőtlenségből Ebből következik, hogy ha a sorozat (32.18) pontosan az z ponton konvergál, akkor a sorozat (32.16) abszolút konvergál ebben a pontban, vagyis R> R2. Most megmutatjuk Egy sor pontot vesszük a sorozat konvergencia körébe (32.17), és bizonyítjuk, hogy a sorozat (32.18) konvergál. Mivel | z | A sorozat (32.18) abszolút értékét a következőképpen írjuk fel: A q = | z / r | értéket állítjuk be. Tekintettel a feltételre (32.22) 0 konvergál (ez könnyen ellenőrizhető például az alembert-teszt segítségével). Ezért feltételei szekvenciája nullára nullázódik, és ezért korlátos, vagyis létezik olyan c> 0 állandó, amely minden n = 0, 1, 2. egyenlőtlenség esetén A (32.23) és a (32.24) pontokból következik Mivel rR1. akkor az r n + 1 sorozat abszolút konvergenciát mutat, vagyis az r n + 1 sorozat konvergál, ezért a nan z n -1 sorozata konvergenciát mutat a kongruencia alapján. Így a feltételből | z |
Tétel 2. Legyen R a sorozat konverziójának sugara (32.2). Majd ha | z |
Ha R = 0, akkor a zC pontok olyanok, hogy | z |
Az általános alakzat teljesítménysorozatát (z - z0) n tekintjük. Egy z pontban konvergál vagy eltér egymástól, ha és csak akkor, ha a sorozat egy ponton konvergál vagy eltér a z = z0 pontnál. Az utolsó sorozat R konvergenciájának sugara az eredeti sorozat (a - z0) n sorozat konvergenciasugara is.
Ha a z = z0 változót a konvergencia köre váltja fel <: | |
A 2. tételből következik, hogy ha R az a (z - z0) n sorozat konvergenciasugara. akkor | z - z0 | esetén
Megjegyezzük, hogy a sorozat (32.1) egyenletes konvergenciája minden lemezen | z-z0 |
Valóban minden z. | z |
1. Tekintsük a sorozatot
2. A sorozat R konvergenciájának sugara
3. A végtelen geometriai progresszió összegének konvergenciája sugara
4. Számos
Ne feledje, hogy a konvergens kör határának minden pontjában, azaz a | z | -hoz = 1, ugyanazon egyenlőtlenség (32.13) miatt a sorozat (32.12) konvergál.
5. A sorozat R konvergenciájának sugara
Azon a ponton, Z = 1, a konvergencia kör határ sor (32,14) alakítjuk Fourier-sor, és így eltérnek, és z = -1 kapunk konvergens sorozat (-1) n / n. Így a sorozathoz (32.14) a konvergenciakör határánál vannak olyan pontok, amelyeken konvergál, és pontokat, amelyeken eltér. Elemzett példák azt mutatják, hogy van egy erő sorozat, amelyben a sugár a konvergencia egyenlő nullával (sor (32,9)) egy véges pozitív egész (száma (32,11)) és egyenlő a végtelenig (a sorozat (32.10)). A konvergencia tartomány határán szám konvergál pont (szám (32,12)), vagy bizonyos kitüntetett pontokban és eltérnek a másik (sor (32,14)), vagy eltérnek minden pontján (szám (32,11)).
A teljesítmény-sorozatba bomló funkciókat analitikusnak nevezik. Pontosabban, a következőket tartja
Definíció 2. Az f függvény analitikusnak mondható z0 ponton. ha e pont egyik szomszédságában (lásd az 5.11. pontot) az f funkció bomlik egy teljesítménysorozatba:
3. tétel (Abel második tétele). Ha R a teljesítménysorozat (32.2) konvergenciájának sugara, R <+ , и этот ряд сходится приz = R. то он сходится равномерно на отрезке [0,R ] действительной оси .
Következmény. Ha a sorozat (32.2) konvergálja a z = R értéket, akkor annak összege a valós tengely [0, R] intervallumánál folytatódik.
A tétel bizonyítása. Van
A következmény következménye a sorozatban (32.2) a [0, R] intervallumon belüli folytonossága és a sorozat egységes konvergenciája következtében következik. Tegyünk egy másik lemmát a komplex tartományban a teljesítménysorozat számára, amelyet a következő szakaszban fogunk használni.
Lemma 1. A konvergencia radija. R1 és R2 a sorozatnak megfelelő
Az egyenlőtlenségből
Így,
Kapcsolódó cikkek