Úgy döntünk, hogy a b és a pontok α-szomszédságai nem metszenek (nem voltak közös pontjaik). Vegyük például. Mivel a b szám a szekvencia korlátja, akkor az adott szám megtalálja az N számot úgy, hogy mindenkinek. Ezért az intervallumon kívül csak egy sorozatszámú véges számú szám jelenhet meg. Közelebbről, az intervallum csak egy véges számú terminust tartalmazhat a sorozatban. Ez ellentmond annak a ténynek, hogy a a szekvencia határa (a szomszédság bármely szomszédsága végtelen számú szót tartalmaz a sorozatban). Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy a szekvenciának nem lehet két különböző határa. Így a konvergens szekvenciának csak egy határa van.
Úgy mondják, hogy a szekvencia az alábbiakban korlátozott. ha létezik olyan szám, amelyen a szekvencia összes feltétele megfelel a feltételnek,
Úgy mondják, hogy egy szekvencia felülről van határolva. ha:
Az alulról és felülről határolt szekvenciát határoltnak nevezik. vagyis azt mondják, hogy egy sorozatot határolnak. ha:
ez a következőképpen írható:
Tehát egy szekvencia határolódik, ha az értékkészletét határolja.
Tétel: (egy konvergens szekvencia korlátján)
Ha a szekvenciának van egy határa, akkor korlátos.
Hagyja, hogy a szekvenciának egyenlő legyen a. A határ meghatározásával megtaláljuk az N számot úgy, hogy mindenkinek van az egyenlőtlenség. Mivel az összeg modulusa nem haladja meg a modulok összegét, akkor:
Ezért mindenki számára az egyenlőtlenség:
Tegyük fel, hogy mindenképpen, azaz a szekvencia korlátos.
Megjegyzés: Az előző tétel alapján minden konvergens sorozatot korlátoztunk. Az ellentétes nem igaz: nem minden korlátolt sorrend konvergens! Például. A szekvencia határolt, de nem konvergens.
Megjegyzés: Ha az állapot nem érvényes,
akkor azt mondják, hogy a szekvencia nincs határolva.
Példa: Bizonyítsuk be, hogy a szekvencia korlátolt, ha és mindenkinél.
Mert akkor. Egy adott számra, a szekvencia határának meghatározásával van olyan szám, amely:
A különbség modulusának egyenlőtlenségével
és az egyenlőtlenség, kapunk hol. És így mindenekelőtt az egyenlőtlenség érvényes.
Legyen C = max, mindenesetre az egyenlőtlenség tart, vagyis egy korlátolt sorrend.
A limit egyedisége
Kapcsolódó cikkek