Előadás térbeli görbék
IІ. HALADÓ CURVES
(előadások № 3, 4, 5, gyakorlati № 2, 3, számláló 20 perc)
1) A görbe fogalma az űrben. Paramétergörbe beállítása.
2) Az érintő egyenletei a görbe paraméteres specifikációja esetén, és ha egy görbe két felület metszéspontjaként van meghatározva.
3) A görbe ívhossza. A görbe természetes paramétere.
4) Meghatározás 2.1 (Kör, sugar és görbület középértéke, görbülete)
5) 2.2 meghatározás (a fő normális és a megállapításának képlete).
6) Meghatározás 2.3 (binormális és a képlet megtalálása).
7) Meghatározás 2.4 (a kísérő trieder síkjai).
8) Frenet képletek. Torziós.
9) Meghatározás 2.5 (evolutes). Az evolúció egyenlete.
10) Meghatározás 2.6 (involutes).
2.1 A LÉTRE VONATKOZÓ KÉRELEM.
Az űrben egy ívben olyan pontok halmazát értjük a térben, amelyet a numerikus tengely bizonyos intervallumának folyamatos képeként definiálunk.
A görbét paraméteresen lehet megadni:
vagy vektorfüggvény hodográfjaként.
2.2 A JELENLEGI CURVE.
A görbét differenciálhatónak, folyamatosan differenciálhatónak, kétszer differenciálhatónak és másnak nevezik. ha a (2.1) pontban megadott koordinátafüggvények differenciálhatóak, folyamatosan differenciálhatóak, kétszeresen differenciálhatók, és így tovább.
Legyen Γ egy differenciálható görbe, amelyet a vektorfüggvény hodográfiaként definiálunk; és aztán azt a vonalat, amely a vektorfüggvény hodográfiájának érintője a sugárvektor végén. az F görbéhez érintő tangensnek nevezzük. Mivel a geometriai értelemben az irányító tangens vektor, az M0 (x0, y0, z0) pontban lévő érintő egyenletei a következő formában írhatók:
Ha a görbét egyenletekkel adjuk meg
(itt a paraméter szerepét változók játsszák), az érintő egyenleteinek formája:
A görbéhez tartozó érintő egyenletét képezzük, amely két felületnek metszéspontja, amelyet egyenletek adnak implicit formában
Ezeket az identitásokat különböztetjük meg
Ebből látjuk, hogy az érintő vektor merőleges az egyes vektorokra. azaz kollineárisak a vektortermékeikhez
Ha a görbén egy pozitív irány van feltüntetve a t paraméter növekedésével, akkor a vektort az orientált görbe érintő vektorának nevezik.
A pontok között metsző irányú görbék közötti szög ezen a ponton az érintőik közötti szög.
2. példa. 1Az tangens egyenleteit illesszük a hélixhez: tetszőleges t és pontban.
A megoldás. Azóta a (2.2) szerinti tetszőleges ponton az érintő egyenlete megegyezik
Különösen, amikor:
A megoldás. Viviani görbe metszésvonal a felületek egy középpontú gömb a származási és egy kör alakú henger közepén (alkotó), elmozdult a tengely mentén (ebben az esetben) Ox összeggel egyenlő a henger sugara. A henger átmérője megegyezik a gömb sugaraival.
A felületek egyenletét implicit formában írjuk
Ezután a (2.2) szerint az érintő egyenletei a vonal tetszőleges pontján a formában lesznek
2.3A görbe hossza. A BEER NATURÁLIS PARAMÉTERE.
Tekintsünk egy folyamatosan differenciálható görbe ívét
A "A definite integrál" szakaszban egy képletet kaptunk egy görbe ívhosszának megtalálásához:
A változó felső határértékkel az ívhossz változó:
Ha a görbe t paramétere az ívek változó hosszúsága. koordinátáit az M pont a görbe függ hossza dugis = AM: x = x (s), y = y (ek), Z = z (ek) (parametrizálási) .Ezután általános képletben (2.7), és ezért. azaz a vektor a görbe érintő egységvektora lesz.
Minden egyes, folyamatosan differenciálható görbe nélkül egyedi pontok léteznek reprezentációja. amelyben e görbe változó ívhossza paramétereként van megadva, azaz természetes paraméterezés.
2.3. Példa. Keresse meg a hélix ívének (íveinek) hosszát
A megoldás. A hélix tangenciális vektora. majd
2.4. Példa Írja le a hélix tényleges paraméterezését.
A megoldás. A vonal ívének hossza Itt innen Az x (t), y (t), z (t) kifejezésekben a hélixegyenletet a természetes (természetes) parametrizációban kapjuk meg:
Letöltés letétfájlokból