3. modul
Téma 3.1. Olyan problémák, amelyek a származék fogalmához vezetnek. A származék meghatározása. Ennek geometriai és mechanikai jelentése. A funkciók differenciálására vonatkozó szabályok. Az alapvető elemi funkciók származékai. Egy komplex és inverz függvény származéka. A magasabb rendű származékok.
3. téma. 2. Egy függvény különbözete, geometriai jelentése. A különbség formájának ingadozása. Paraméteresen megadott függvények differenciálása. A különbség alkalmazása közelítő számításokban.
A Lopital szabály, egy függvény végső pontjai. Fermat tétele. Rolle, Lagrange, Cauchy tételei
Módszertani iránymutatások tanulmányozásához.
Miután tanulmányozta az elméleti anyagot a tankönyvekben, elemezze a
6. és 7. példa.
Referenciaként megadjuk a szabályokat és képleteket az alapvető elemi függvények megkülönböztetésére.
Ha u = x. akkor u '= 1.
6. példa. Keresse meg a fenti funkciók származékait:
a) alkalmazzuk a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére és
b) Következetesen alkalmazzuk a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére:
c) Ennek a funkciónak a logaritmusa :.
Megkülönböztetjük az utolsó egyenlőség mindkét oldalát :.
d) Ez a függvény implicit formában van megadva. Az egyenlet mindkét oldalát differenciáljuk az x-hez viszonyítva
e) Logaritmussá tesszük az e egyenlet két oldalát:
. Az utolsó egyenlőség két oldalát különböztetjük meg az x változónál. feltételezve itt x függvényét:
Példa 7. Keresse meg a függvény különbségét.
A megoldás. Az x ponton a függvény differenciális differenciálását a
fő, lineáris a # 8710; x part y '# 8710; x növekmény # 8710; y
Tehát hogyan. az
A különbség meghatározásából kiindulva:
Kérdések az önkontrollhoz.
1. Mi a függvény egy származéka?
2. Mi a származék geometriai, fizikai jelentése?
3. Milyen funkciót különböztethetünk meg egy ponton? az intervallumon?
4. Hogyan kapcsolódik egymáshoz egy függvény folytonossága és differenciálhatósága?
5. Írjon szabályokat a funkciók megkülönböztetésére.
6. Írja le az alapvető elemi funkciók megkülönböztetésére szolgáló képleteket.
7. A komplex funkció differenciálására vonatkozó szabály megfogalmazása.
8. Fogalmazza meg a függvény különbségének meghatározását.
9. Adja meg a funkció különbségének tulajdonságait.
10. Mi a funkció különbségének geometriai jelentése?
2. 3. 4. A független munka elvégzése
Az 1-3. Problémákban találja meg ezeknek a funkcióknak a származékait.
4. Keresse meg a funkció különbségét.
5. Számítsa ki a határértéket. a L'Hospital szabály alapján.
4. modul: A differenciál kalkulus alkalmazása a funkciók tanulmányozásához.
4. téma. 1. A funkciók monotonikus feltételei. A funkció extrémje, szükséges állapot. Megfelelő feltételek. A függvény azonosításának legnagyobb és legkisebb értékei, amelyek intervallumon belül differenciálhatók.
4. téma. 2. A funkciógörbe konvexitásának vizsgálata. Inflexiós pontok A grafikon funkciójának tünetei. Egy általános rendszer egy függvény megismeréséhez és grafikájának megépítéséhez. Az adott ponton a görbe érintő egyenlete.