Konvergencia valószínűséggel
) "/> egy valószínűségi hely, ahol véletlenszerű változók vannak rajta.
Azt mondják, hogy a valószínűség 0-ra való konvergenciája a k, ha 0 "alt =" \ forall \ varepsilon> 0 "/>
\ varepsilon) = 0 "alt =" \ lim \ limits_ \ mathbb(| X_n - X |> \ varepsilon) = 0 "/>.
Magyarázat és példa
Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy ha kellő mennyiségű mennyiséget veszünk, akkor a határértéktől való jelentős eltérés valószínűsége kicsi lesz. Azonban fontos megérteni, hogy ha a "/" szekvenciát egyidejűleg (vagyis ugyanazon elemi kimenetelnek) tekintjük, akkor nem kell konvergálni az értékhez, általában mindenkihez. erőteljesen eltérõ értékek, egyszerűen "nem sokak", ezért a valószínűsége, hogy egy ilyen adott kísérletben ilyen erős eltérés esik egy bizonyos számra, kicsi.
Példaként tekintse meg a valószínűségi helyet, a valószínűség Lebesgue-mérték (vagyis annak valószínűsége, hogy bármelyik intervallum megegyezik annak hosszával). Véletlen érték van megadva a következő: az első két két részre időközönként) „/> u, 1]” /> és meghatározza egyenlő 1 az első intervallum és a második 0 és - éppen ellenkezőleg, az első intervallum 0 és 1 másodperc. Ezután a következő négy mennyiséget veszünk fel, osztjuk négy egymástól független hosszúságú intervallummal, és minden értéket 1-re osztunk az intervallumon, és 0-at a fennmaradó időközönként. Ezután a következő 8 értéket vesszük figyelembe, osztjuk 8 intervallummal, stb.
Ennek eredményeképpen az egyes elemi eredményekhez az értékek sorrendje a következő:
a szekvencia hosszúságsorozatokból áll, és minden egyes sorozatban egy helyen (a kiválasztott elemi kimeneteltől függően) az 1 érték, a többi helyen pedig nulla.
A sorszámú (hosszúságú) sorozathoz tartozó véletlen változók az 1 értéket "/> és a 0 valószínűséggel" /> valószínűséggel veszik. Az alap definícióból következik, hogy ez a szekvencia valószínűséggel egy véletlen változóhoz konvergál. Ugyanakkor bármely érték esetében az értékek sorrendje nem konvergál, mivel bármely tetszőleges sorrendben önkényesen messze van szükségképpen 0-tól elválasztott értékek. Azonban, mivel a sorozat hossza határozatlan ideig növekszik, a "bejutás" valószínűsége önkényesen kicsi lesz, ha egy szekvencia egy elemét elég nagy számmal választja ki.
Megjegyezzük, hogy ahelyett, hogy az 1 értéket, akkor válasszon más (beleértve önkényesen gyorsan növekszik növekedés), és ezáltal egy sorozat matematikai elvárások X_n „/> önkényes (korlátlan). Ez a példa azt mutatja, hogy a konvergencia valószínűség szerint nem a matematikai várakozások konvergenciáját (valamint bármely más pillanatot) jelenti.
A konvergencia erősebb formája, amely biztosítja az értékek szekvenciáinak konvergenciáját a határhoz közel konvergenciát szinte mindenütt.