Hőmérséklet számítás számítástechnikai információs matematikával

A véges különbség módszer.

Ez a határérték-problémák megoldására szolgáló módszer neve, amely a differenciálegyenleteket és határfeltételeket végző származékok közelítő helyettesítésén alapul, nem-véges különbségekkel. Ez a csere lehetővé teszi számunkra, hogy csökkentjük a határérték problémát az algebrai egyenletek rendszerének megoldására.

Véges különbségek és származékok: Adjuk meg az y (x) függvényt az [a, b] intervallumon. Feltételezzük, hogy ez az intervallum folyamatos és ismételten differenciálható. A szegmenst a h hosszúság azonos részévé osztjuk, és az x0, x1 osztási pontokat jelöljük. xi. xn. Ezeken a pontokon a y0, y1 függvényeket jelöljük. yi. Az i-es pont (i = 1,2, n-1) első központi különbsége a különbség:

E különbség segítségével kb. Az i-edik ponton számolhatjuk ki az y 'első származékának értékét.

Az y (x) függvényt teljesítmény-sorozatban bontjuk ki. a bomlás középpontjába az xi pontot választjuk, és négy kifejezésre szorítjuk:

Hasonlóképpen megtaláljuk az ф -ion értékét a ponton

,a lépésenkénti bővítés távolsága (-h):

Így az y 'származékot körülbelül egy véges különbséggel helyettesítjük a h * h sorrend hibájával:

Az y (x) függvény második centrális különbsége az i pontban a következő mennyiség:

Ennek a különbségnek köszönhetően közelíthetjük az i-es pont második y-származékának értékét, és most a Taylor-sorozathoz tartozó 5 kifejezést használjuk:

Így a második derivált y'` a h * h megbízás hibájával közelítőleg egy véges különbséggel helyettesíthető:

Az i-edik ponton a különbségek meghatározásakor a függvény xi-szimmetrikusan elrendezett pontjaiban használt értékeket használtuk. Ezért ezeket a különbségeket központinak nevezik.

Van bal és jobb különbség is a pontok bal és jobb oldalán levő pontok használatával. E különbségek segítségével közelíthetjük a származékok értékét is, de a hiba nagyobb lesz, mint a h sorrendje.

Az egyenletek különbségeit a következő sorrendben állítjuk össze.

1. Az eredeti differenciálegyenlet átalakul erre a formára, annak érdekében, hogy a legegyszerûbb egyenletrendszert különböztetjük meg. Itt figyelembe vesszük, hogy a származékok együtthatói egyidejűleg beletartoznak a különböző feltételekbe, majd kiterjesztik az egész egyenletrendszerre. Ezért kívánatos, hogy az eredeti egyenletben a származékokra egységnyi együtthatók legyenek.

2. A kezdeti egyenlet integrálásának intervallumánál egy egyenletes rácsozatot hozunk létre a h lépéssel, és egy különbségi sémát írunk, amely körülbelül a származékokat a megfelelő központi véges különbséggel helyettesítjük.

3. A rács csomópontok különbségi sémáját írja meg a különbségegyenleteket. Ebben az esetben az úgynevezett out-of-loop unknowns-t tartalmazó egyenleteket kaphatunk, vagyis ismeretlenek a megállapított rácson kívüli pontokon.

4. A különbözõ formában a határfeltételek le vannak írva, és a különbözõ egyenletek teljes rendszert alkotják.

A határérték probléma megoldásának hibája

Az egyenletek különbségrendszerének megoldása a határértékprobléma megközelítő megoldását adja. Ezért felmerül a kérdés, hogy mennyire pontos a megoldás.

Lineáris határ érték problémák bizonyult tétel, hogy egy sorban pontosan a határ probléma megoldása nem alacsonyabb, mint a sorrendben közelítése származékok véges differencia kapcsolatok. A hiba becslését Runge végzi. A határ érték probléma megoldódott két módon: rács H lépés és hálókiosztás H = kh, oldatok egy kis hiba h lépésben értékeljük a képlet:

ahol y (h) és y (H) az integrációs szegmens ugyanazon a pontján - különböző lépésekkel kapott - oldatok. Az E relatív hibát az alábbi képlet alapján becsüljük meg:

Ha a bal vagy a jobb különbséget az egyenletek differenciarendszerének származtatásában használjuk, akkor a megoldás hibája 0 (h) sorrendben magasabb lesz, és a képletekben megbecsüljük, k * k helyett k-val kell helyettesítenünk.

A véges differencia-módszer alkalmazása az egyenletek megoldására részleges származékokban

Ha a különbségmódot a nem függő változók megváltoztatásának területén alkalmazza, vezessen be egy rácsot. Az egyenletbe és a határfeltételekbe belépő összes származékot a függvény grid csomópontjainak különbségei helyettesítik, és így az egyenletek algebrai rendszerét kapják. Ennek a rendszernek a megoldásával találja meg a probléma megközelítő megoldását a hálózati csomópontokon.

c A CSALÁDI RENDSZER ÖSSZETÉTELÉRE SZOLGÁLÓ PROGRAM

c FINITE DIFFERENCIA MÓDSZERE

c valódi H-lépés az x tengely mentén

c valódi K-lépést az Y tengely mentén

c egyenletek valódi N-száma (közelítő szám, előnyösen N = M * P)

c real y (6, N) - az egyenletek kimeneti tömbje, amely a következő mezőket tartalmazza:

c y (1, N) az X tengely mentén lévő pont száma

c y (2, N) - egy pont száma az Y tengely mentén

c y (3, N) a Q (y (1, N) -1, y (2, N) egyenlet egyenletének együtthatója)

c y (4, N) a Q (y (1, N), y (2, N) -1) egyenlet együtthatója

c y (5, N) a Q (y (1, N) + 1, y (2, N) egyenlet egyenletének együtthatója)

c y (6, N) a Q (y (1, N), y (2, N) +1 egyenlet egyenletének együtthatója)

c egész szám M az X tengely mentén található csomópontok száma

c egész szám P az Y tengelyen lévő csomópontok száma

c valós Q (M, P) az Y értékek tömbje

c az eredményül kapott egyenletek N-kimenő számának egésze

A szimmetriatengelyen elhelyezkedő mátrix csomópontjaiban az ismeretlen értékeket a következő képlet adja meg:

A Seidel-módszer az iteratív módszerek számát jelenti, amelyekben a hibák felhalmozódási tényezője lényegében nincs jelen. Ezért széles körben alkalmazzák nagy egyenletrendszerek megoldására. Figyelembe vesszük, hogy a rendszer gyökereit valamilyen y vektor összetevőjeként oldják meg. Az alapötlet az iteratív módszerek abban a tényben rejlik, hogy megtesszük a közelítő értéke y és képletek alapján összeállított alapján megoldható egyenlet számítás kíván létrehozni egy új közelítő értéke az y vektor. Ezeket az approximált értékeket nevezzük y (k) és y (k + 1) értékeknek. Mivel a kezdeti közelítést önkényesen választották ki, az y (k + 1) viszont kiindulási pontként szolgál az új y (k + 2) közelítés megszerzéséhez ugyanazon képletekkel. Nyilvánvaló, hogy ez a folyamat addig folytatható, ameddig csak tetszik. Azt mondják, hogy az iterációs folyamat konvergál, ha az y (k) vektorok (k = 0,1,2.) Vektorok sorozata az y vektora, amely a rendszer pontos megoldása:

A gyakorlatban lehetetlen elérni ezt a határt, de lehetséges bármilyen közelítéssel pontossággal közelíteni. Ez az, amit csinálnak: Meghatározzák a kezdeti közelítés vektorának bizonyos hibáját, és egymást követő közelítéseket kapnak, amíg a gyökerek tényleges hibája kisebb lesz, mint az előírt hiba.

Különböző módszerek különböznek egymástól a következő közelítés kiszámításánál, de minden módszerben két fő probléma létezik:

az iterációs folyamat konvergenciájának biztosítása;

az elért hiba becslése.

Legyen lineáris rendszer

Feltételezve, hogy az átlós együtthatók

oldja meg az első egyenletet az y1 tekintetében. a második relatív y2, és így tovább.

Ezután megkapjuk az egyenértékű rendszert

Ezt a rendszert csökkenteni fogják.

A Seidel módszer a következő. Miután kiválasztotta a kezdeti közelítés vektorát

helyettesíti komponenseit a rendszer első egyenlete jobb oldalán, és kiszámolja az új y` (cp) vektor y'1 első komponensét. A második egyenlet jobb oldalán helyettesítjük a komponenseket (y`1, y2, y3. Yn), és kiszámítjuk az új vektor második y`2 'komponensét. A harmadik egyenletben helyettesítő (y`1, y`2, y3. Yn) stb. Nyilvánvaló, hogy minden egyes egyenletre való helyettesítés után az utolsó egyenlet elérése után frissítjük az eredeti vektor összes összetevőjét és megkapjuk az első közelítést az oldathoz

Tovább. kezdeti vektorként az y '(cp) vektort. hajtsa végre a második iterációt és kapjon y`` (cp). Ez a folyamat addig folytatódik, amíg a kívánt pontossági fok nem érhető el.

A Seidel folyamat közelítéseinek hibáinak becslése

A hiba becsléséhez először számítsa ki a konvergencia mértékét

Vagyis a rendszer együttható mátrixának minden sorában

a fő átlós jobb oldalán fekvő koefficiens modulok összegét kiszámítjuk

és a fő átlós bal oldalán fekvő együtthatók moduljának összege:

Minden i-es sorban (i = 1,2, N) az arány

ezen kapcsolatok maximálisak. Minél kevesebb

, annál nagyobb a konvergencia mértéke.

A K-féle közelítés hibájának következő becslése a Seidel-folyamatra érvényes:

vagyis a rendszer bármelyik i-ik gyökérének a K-féle közelítésében való eltérése modulja az azonos gyökér pontos értékétől

nem több, mint egy tényezővel szorozva

A (K-1) -es közelítésből K-mu-ra történő átmenet eredményeként nyert gyökerek növekményeinek maximális értéke.

Ha beállítjuk az abszolút hibát

és ezt a feltételt megkívánja

akkor állapot

vagyis a K-th iteráció adott pontossági fokát érjük el. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy minden egyes iteráció után azonosítani kell a gyökeret, amelynek változása az előző értékhez képest a legnagyobb modulusban volt. Ennek a gyökérnek a növekedését meg kell szorozni

és hasonlítsa össze az eredményt a választott abszolút hibával

Elég feltételek ahhoz, hogy a Seidel folyamat konvergáljon

Ha a rendszer együtthatók modulja megfelel a feltételek legalább egyikének

akkor a megfelelő csökkentett rendszer Seidel-folyamata az eredeti y (φ) vektor választékához illeszkedik egyedülálló megoldásaként, ilyen rendszereket diagonális dominanciájú rendszereknek neveznek.

A Zeidet eljárásának olyan tulajdonsága van, amely lehetővé teszi a folyamat konvergenciáját az egyenletrendszerek egy együtthatójú egyspecifikus mátrixával való konvergenciájának biztosításához.

Ha az A = [aij] egyszemélyes mátrixszal rendelkező rendszerek mindkét részét balról az A * [aij] transzpozíciós mátrixra szorozzuk. akkor egy új, egyenértékű kezdeti rendszert kapnak, amelyet normálisnak neveznek. A normál rendszertől kapott redukált rendszer Seidel-folyamata mindig a kezdeti közelítéstől függetlenül konvergál.

Seidel-módszer alrutinjai.

KÓD PROGRAM A KÖVETKEZMÉNYEK RENDSZERÉNEK MEGOLDÁSÁRA A SEIZON MÓDSZERRE

az egyenletek N-számú egész számával

c real y (6, N) -input array egyenletek, amelyek a következő mezőket tartalmazzák:

c y (1, N) az X tengely mentén lévő pont száma

c y (2, N) - egy pont száma az Y tengely mentén

c y (3, N) a Q (y (1, N) -1, y (2, N) egyenlet egyenletének együtthatója)

c y (4, N) a Q (y (1, N), y (2, N) -1) egyenlet együtthatója

c y (5, N) a Q (y (1, N) + 1, y (2, N) egyenlet egyenletének együtthatója)

c y (6, N) a Q (y (1, N), y (2, N) +1 egyenlet egyenletének együtthatója)

c egész szám M az X tengely mentén található csomópontok száma

c egész szám P az Y tengelyen lévő csomópontok száma

c valós Q (M, P) az Y kezdeti értékek bemeneti tömbje

c valós Q (M, P) az Y számított értékeinek kimeneti tömbje

c valós számítások E-hibája