A lineáris tér meghatározása
Definíció. A készletet lineáris (vektor) térnek nevezik. ha:
I. Szabály adható, jelezve, hogy bármelyik két elemre vonatkozóan
. a talált elemek közül, összegüknek nevezik
és + jelzéssel.
II. Egy szabályt adnak meg, amely jelzi, hogyan, bármilyen valódi
(vagy komplex) számot és a találatok bármely elemét
Egy új elem, amelyet a következő terméknek nevezünk és jelöltünk
szimbólum vagy.
III. Az elemek egyenlőségének koncepciója a. jelöli a "=" jelzéssel.
IV. Az I és II műveleteket sorszámozással és sorszámozással nevezik, és megfelelnek a következő nyolc feltételnek:
4) a szaporítás disztributív az elemek hozzáadásával kapcsolatban
A szorzás disztributív a számok hozzáadásával kapcsolatban
6) létezik ilyen elem. zéró. hogy
7) minden elemhez
8) minden elemhez létezik egy elem -. az ellenkező elemnek nevezzük. hogy
Ha a terméket csak valós számokra definiáljuk, akkor azt mondjuk, hogy a lineáris terület valóságos. ha a terméket bármely komplex számra definiálják. akkor a lineáris tér komplexnek mondható. A lineáris terület elemeit vektoroknak (vagy pontoknak) nevezik, és betűkkel vannak jelölve. . . .
Egy lineáris tér tulajdonságai
A lineáris terek fő példáit alább mutatjuk be, de először (a bizonyítás nélkül) a legegyszerűbb tulajdonságokat adjuk meg, amelyek közvetlenül a lineáris tér definíciójából következnek.
Tulajdonság 1. Minden egyes lineáris térben egyedülálló
nulla vektor.
Tulajdonság 2. Minden vektorban minden egyes lineáris térben létezik egy egyedülálló ellentétes vektor.
Tulajdonság 3. Minden vektorban lévő lineáris térben
egyenlőséget
Az egyenlet bal oldalán a szimbólum jelenti a nulla számot, a jobb oldali oldalon pedig az O nulla vektort.
Tulajdonság 4. A nullás vektor bármelyik számának terméke egyenlő a nulla vektorral,
Tulajdonság 5. Minden elem esetében az ellenkező elem egyenlő
ennek az elemnek a terméke számmal - 1,
Ha az elemek jellege a. valamint az elemek összegének és egy elem termékének számozására vonatkozó szabályokat (ahol a harmadik pont és a negyedik pont axiómái teljesülnek) jelennek meg, akkor a lineáris területet konkrétnak nevezik.
Példák a specifikus lineáris terekre
Példa 1. A valós számok halmaza a számok hozzáadásával és számozásával járó rendes műveletekhez képest valós lineáris tér.
2. példa A készlet minden vektorok a szabad térben egy vektor teret, az összes axiómát IV elem végrehajtott (vektor összeadási művelet a szabály alapján a paralelogramma és megszorozzuk a számát megadott vektorok a szokásos módon).
a lineáris homogén egyenletek két megoldását jelöli
Korábban kimutatták, hogy az összegük
és bármelyikük terméke (definiteness) tetszőleges valós számmal
a rendszer megoldásai is (1.16).
Könnyen azt mutatják, hogy a sor homogén oldatok (1,16) egy lineáris tér, amelyben a nulla elem az elem O (0. 0. 0), és ellentétes az elem elem (..) (- .. -). Ez a megállapítás a IV. Pont nyolc feltételének megvalósíthatóságából következik, amint az mindegyikük alapvető elbírálásának eredményeként könnyen ellenőrizhető.
4. példa Egy készlet. amelyek elemei tetszőleges valós számok gyűjteményei = (...). A készlet az összes lehetséges sorból álló gyűjteménynek tekinthető, amelyek mindegyike valódi rendezett számokat tartalmaz. Ebben az esetben két sor
különbözőek, ha legalább az egyik egyenlőség
Elemek és készletek kiegészítő műveletei. szorzás
elemet valós számmal határozzák meg a szabályok
Ha a nullapontra a 0 = (0. 0, ..., 0) nullák sorát vesszük az elemhez képest. lesz egy elem. akkor a IV. pont feltételeinek érvényességét mindegyikük alapvető elbírálása határozza meg.
5. példa. Az összes polinom egy változója egy változóban. amelynek mértéke kisebb vagy egyenlő egy adott számmal. Könnyű látni, hogy a két polinom összege és az is legfeljebb egy fokú polinom. vagyis tartozik. és tetszőleges számú termék bármely polinom által alkotott terméke is legfeljebb egy fokú polinom. és ennek következtében tartozik. Megértés, mint általában, sok tag egyenlõsége és egyenrangú együtthatója ugyanolyan mértékben. Könnyen ellenőrizhető, hogy a negyedik pont összes axiómája teljesül. Megjegyezzük, hogy nullázó elemként olyan polinomot értünk, amelyben az összes koefficiens nulla.
6. példa Egy változó összes folyamatos funkciójának készlete. amelyet egy szimbólum jelez. mivel a folyamatos függvények és azok összege + folytonos a folyamatos funkciók összege, és egy szám terméke, és a függvény is folyamatos, lineáris tér.
A vektoralgebra vizsgálata során vektorok lineáris kombinációjának koncepcióját vezettük be. Ezt a koncepciót egy lineáris tér esetében szoktuk általánosítani.
Jelölje a lineáris tér tetszőleges vektorát.
Definíció 1. A vektorok lineáris kombinációja az elemek termékeinek összege pro-valós valós számokhoz. azaz a vektor
Számokat. ezeket a lineáris kombináció koefficienseinek nevezik.
Definíció 2. A vektorok lineárisan függőek. ha nincs több, mint minden nulla, úgy, hogy az egyenlőség
Ha azonban (2.18) csak az egyedi esetekben lehetséges
akkor a vektorokat lineárisan függetlennek nevezik.
Vegyünk példákat.
Példa 1. Forduljunk a lineáris térhez. amelyek elemei polinomok egy változóban. amelynek mértéke kisebb vagy egyenlő egy adott számmal.
ebben a térben lineárisan független rendszert alkotnak. A rendszer lineáris függetlensége (1.19) abból a tényből következik, hogy a kapcsolat
mindenki számára csak akkor teljesíthető
2. példa Egy olyan lineáris térben, amelynek elemei a síkon szabad vektorok, bármelyik három vektor lineárisan függ, vagyis vannak ilyen számok. nem egyenlő nullával egyidejűleg, ilyen kapcsolat
3. függvény. A függvények lineárisan függenek, mivel a kapcsolat
azonos módon tartja, ha felhozzuk.
Tétel. Ha a vektorok lineárisan függenek, akkor egyikük a fennmaradó vektorok lineáris kombinációjával reprezentálható. Bizonyítás. Valójában, ha a vektorok lineárisan függenek, azaz a kapcsolat (1.18) elégedett, és itt, a definitás kedvéért, azt feltételezzük. az
vagy, az utolsó egyenlőség mindkét oldalát elosztva
Nyilvánvaló, hogy a beszélgetés is igaz. Az utolsó egyenlőséget a vektor kiterjesztésének nevezzük a vektorok vonatkozásában.
Alapok és koordináták
Definíció 1. Egy lineáris tér lineárisan független vektorait ennek a térnek az alapjaként nevezik, ha minden vektor ezen térből a vektorok lineáris kombinációjával reprezentálható. azaz
ahol a lineáris kombináció koefficiensei.
Tétel. A terjeszkedés együtthatói (2.20) egyedileg vannak meghatározva.
Bizonyítás. Tény, hogy éppen ellenkezőleg, vektor esetén két kiterjesztés van a vektorokban:
A másodikat az első egyenlőségből kivonjuk
De mivel a vektorok lineárisan függetlenek, az utolsó egyenlőség csak akkor lehetséges, ha
amelyből következik a vektor reprezentáció egyediségének vektorok lineáris kombinációja formájában. Ezek az egyedülállóan meghatározott számok. a vektor koordinátáinak nevezik az alap alapján. és rögzítik
oszlopként
amelyet koordinátaszaknak neveznek.
Példa 1. Az összes szabad vektor térbeli halmazában az egymással kölcsönösen ortogonális vektorok hármasja képezi az alapot. A vektor koordinátái ennek a bázisnak a vonatkozásában a vektornak a koordinátatengelyekre való kiszögellései.
2. példa Polinomok lineáris térben. amelynek mértéke kisebb vagy egyenlő. egytagú
alapul szolgál. Minden polinom koordinátái
ennek alapján vannak az együtthatók.
Bármely rögzített alapon minden vektor meghatározható a számrendszerben - a koordináták a kiválasztott alapon. Könnyű ellenőrizni, hogy ha a vektorok a koordinátájuk alapján adódnak, akkor a számok hozzáadása, kivonása és szorzása a koordináták megfelelő műveleteire csökken.
Definíció 1. Lineáris tér. amelyben van vektor alapja, úgynevezett - dimenziós. és a szám a tér dimenziója.
Néha meghatározhatja a tér írásának dimenzióját.
Példa 1. A síkban lévő összes szabad vektor halmaza kétdimenziós lineáris tér, és az összes szabad vektor készletének térben egy háromdimenziós lineáris tér.
2. példa A polinomok lineáris térfogata, amelynek mértéke nem nagyobb 4-nél, ötdimenziós.
Definíció 2. A lineáris téret végtelen-dimenziónak nevezik. ha minden természetes számhoz léteznek lineárisan független vektorok.
Definíció 1. Egy lineáris tér szubttere egy elemhalmaz, amely maga egy lineáris tér, amely ugyanolyan műveletekkel történik, mint egy szám hozzáadása és szorzása.
1. példa Egy síkban lévő szabad vektorok lineáris térben az egyes vonalakkal párhuzamos vektorok halmaza szubtér.
2. példa Vektorok térben, amelyek elemei egyoszlopos mátrixok
hol vannak valódi számok, a homogén lineáris egyenletek rendszerét kielégítő vektorok halmaza
lineáris alrendszert alkot. Ez abból a tényből következik, hogy a rendszer (1.21) megoldásainak összege és a megoldás terméke valódi számhoz is hozzájárul.
3. példa: Az összes polinóma készlete. amelynek mértéke nem nagyobb, mint két, szubsztrát a polinomok térében. amelynek mértéke nem több, mint négy.
4. példa Egy lineáris tér nulla vektora nyilvánvalóan a tér legkisebb szubsztrátját képezi.
5. példa A lineáris tér maga a legnagyobb lehetséges térköz.
Megjegyezzük a subspace-ek két tulajdonságát:
Tulajdonság 1. Az egy-dimenziós lineáris térben lévő bármely aljzat dimenziója nem haladja meg a számot.
Tulajdonság 2. Ha egy dimenziós tér-dimenziós al-térben egy alapot választunk ki. akkor mindig lehetőség van vektorok kiválasztására. hogy a vektorok rendszere alapot ad.