Helyetteségek, inverzok, transzpozíciók

Az i és j számok inversion a permutációban. ha i> j, de i előtt van j. Ha a permutáció inverzióinak száma egyenletes, akkor a permutációt egyenlőnek nevezzük. különben furcsa. Például a permutáció (4 7 1 5 3 6 2) egyenletes, mivel a benne lévő inverzok száma egyenletes. A permutáció inverz számának meghatározásához válassza ki azt a sorrendet, amelyben számolják. A legegyszerűbb módja annak, hogy kiszámítsuk, hány inverzió számot ad a következő permutációs számokkal:

Inv (4 7 1 5 3 6 2) = 3 + 5 + 0 + 2 + 1+ 1+ 0 = 12.

Az átültetési művelet a permutáció két elemének kicserélését jelenti.

Tétel. Az egyik átültetés megváltoztatja a permutáció paritását az ellenkezőjére.

Bizonyítás. A tétel nyilvánvaló, ha az átvitel műveletei két szomszédos permutációs szám alá esnek. Legyen szó az i és j számok között. Annak érdekében, hogy a j szám az i helyzetben legyen, azt a szomszédos s + 1-szeresre kell cserélni. Aztán az i számot kell a j szám helyére váltani, és a szomszédos időkre kell cserélni. Összesen összesen egy páratlan számú átviteli műveletet kell végrehajtani az s + 1 + s = 2s + 1 szomszédos számokon. Ennek következtében a permutáció paritása az ellenkező irányba változik. # 9632;

N elemek halmazának egy-egy leképezését önmagára az n-edik teljesítmény permutációjának nevezik. A helyettesítést általában a következő formában írják

Itt dolgozunk, ahogy gyakran kombinatorikában, nem az egyes elemek elemeivel, hanem azok számával. A felső vonalszámlálóban a készlet elemei, az alsó sor-nevező pedig azok az elemek, amelyekbe a megfelelő számláló elemek áthaladnak az f, Természetesen a számláló elemek más sorrendben is elrendezhetők, mint a természetesek. Itt a helyettesítés a kanonikus formában íródott, amikor a numerikus számok sorrendje természetes. Mind a számlálóban, mind pedig a helyettesítés nevezőjében az n-edik teljesítmény permutációja van. Ha a fordítók összege a számlálóban és a nevezőben egyenlő, akkor a helyettesítést egyenlőnek nevezik. különben furcsa. A helyettesítési oszlopok helyettesítésére a paritás nem változik. A helyettesítés kanonikus rekordja

Az n-edik teljesítmény összes permutációját halmaza jelöli. Az n-lépés összes helyettesítésének száma n !. Bemutatjuk az S egy szorzási műveletet, a leképezések összetételét. Példa a szubsztitúciók sokszorosítására:

Tétel. Az n-edik hatalom minden permutációjának halmaza egy csoportot alkot a leképezések összetételének működéséhez képest.

A bizonyítás érdekében ellenőrizni kell a csoport összes axiómájának teljesítését. # 9632;

A semleges elem az identitás térkép

A helyettesítés hátsó eleme a helyettesítés