Érintkezés, egységes térelmélet
Mi az affin kapcsolat?
Érintetlen kapcsolat. Ez a kifejezés még senkinek sem mond egyet az egyetemi oktatásban részesülő személynek. Mindazonáltal remélem, hogy meglehetősen egyszerű példákkal magyarázom, mi ez, és miért döntő jelentősége van a fizika számára.
Remélem, már láttál a relativitásról szóló cikkeket. tenzor. pszeudo-euklideszi és metrikus. és legyen némi ötletük arról, hogy a téridõ minden pontján különbözõ mértékegységek lehetnek különbözõ mértékegységek. Én továbbra is azt a feltételezést, hogy ez megtörtént, és az összes pontot egy bizonyos régióban a tér-idő van felszerelve készlet mérleg és a kép a terület formájában kontinuum által leírt egy koordináta-rendszert. Hagyja, hogy az egyszerűség a tér kétdimenziós legyen, és egy pont koordinátáit x i. i = 1,2. A puszta terjedelme mértékegység, minden egyes pontot kontravariáns vektorok e i 1. 1 és alkatrészek 0 és e i 2. komponensekkel 0 és 1 megjegyzés, hogy az összetevők ezen vektorok a koordináta-rendszerben mindenütt ugyanaz, minden ponton. A skálák vektorai mellett minden ponton meghatározható az infinitezimális elmozdulás vektorainak halmaza - dx i. Végtelenül sok ilyen vektor létezik, egy a ponttól vezető úton. De hagyományosan ők említett egyes számban - a vektor infinitezimális elmozdulás, mert általában mindig jelentette az egyik vektor a teljes készletet, egy bizonyos módon.
Csak itt van a probléma. Hogyan igazán győződjünk meg arról, hogy a "jó" óra mindenhol és mindenütt van, és még az idő is ugyanaz? Igen, és uralkodók is. Biztosan tudjuk, hogy ez nem így van. Így nem hagyhatjuk figyelmen kívül minden mérési eljárás egyenlő jogainak elismerését. És meg kell tanulnod, hogyan kell dolgozni az általuk megadott mérési eredményekkel. Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy minden megfigyelőnek be kell ismernie, hogy a mérlegkészletei a téridőben pontról pontra mozoghatnak. Ennek megfelelően, és ha összehasonlítjuk egy objektum mérési eredményeit különböző pontokon, akkor figyelembe kell venni, hogy nemcsak az objektum képes változni, hanem a skála is. Az affináris (lineáris) kapcsolat olyan szerkezet, amely kifejezetten leírja a lehetséges skála változást, és lehetővé teszi, hogy problémamentesen dolgozzon ebben a helyzetben.
A skála egy kontravariáns vektor, e i n. Az alsó index n jelöli a skála számát, nem pedig a vektor komponenseket. Tegyük fel, hogy a sebességváltó egy szomszédos végtelenül közel pontot, a skála különbözni fog az értéke, az adott ponton az első, a lineáris közelítés az elmozdulás dx j ponttól egy bizonyos összeget de i n. Mit jelent a lineáris közelítés? By the way, ezzel a közelítéssel az "affine" meghatározása kapcsolódik. Ez azt jelenti, hogy mindegyik i-edik komponens esetében írhatunk n kapcsolatokat
Ebben a képletben, az j index alatt az összegzés értendő. Kétdimenziós esetünkben
Továbbá mindig követjük ezt a konvenciót - ha az index alulról és felülről a képletben megismétlik, akkor ez az összeg az index összes értéke fölött van írva.
A j> n szimbólumok a fentiekben ismertetett expanzió együtthatóit jelölik.
Másrészt viszont az eltolódott pontban lévő mérlegek ugyanolyan típusú vektorok. És értékeik tekinthetők egyfajta átalakulás cselekvésének eredményeként a mérlegek értékein a kiindulási ponton:
Ezt a kapcsolatot a következőképpen kell érteni: a mérlegváltozásokat úgy kell tekinteni, hogy azok arányosak a skálákkal. Ie meg kell követnie a viszonylagos változásokat a mérlegekben. Végül is, az adott ponton meglévő mérlegek használhatók a változások mérésére, mások pedig nem. Ezért független változók relatív változások, nem abszolút változók. Ennek megfelelően a fentiekben bemutatott együtthatók a keret vektoraihoz (vagyis egy mérlegkészlethez) tartozó konvolúcióként is írhatók.
Miért vagyok itt, hogy később mondjam el a mínuszt? Most ürügy - magam is beírom a jegyzetet, jól érzem magam, miért nem? Ezt a relációt helyettesítjük a j> n szimbólumokra. Kiderül
Vegye figyelembe, hogy a vektor nem a bal oldalon van! És az Γ i jk együtthatók nem tenzorok! Ez nagyon fontos. És most újra átírom az egészet más módon.
Ez az egyenlőség bármely koordináta-rendszerben érvényes, bármilyen skálához. És észre, most a vektor a bal oldalon van! Megegyezik nullával definíció szerint. Miért? És a koordinátarendszeremben, minden olyan skála, amelyet velem húzom, definíció szerint mindig egybeesik önmagával! Megváltozhat mások számára, de számomra nem. És mi az, amit itt írtam olyan bonyolultnak? Semmi különös, csak hivatalos felvételi változékonyságának a skála, rögzítette ezt lehetővé változás hivatkozott puszta terjedelme és mint első közelítésben arányos elmozdulás a lényeg. A változások helyett az Γ i jk együtthatók kerültek bevezetésre. ami az én koordináta-rendszerben a függvénye lesz a pont, és fel lehet használni, hogy összekapcsolja a mérések eredményeit a szomszédos pontok (más koordináta rendszer, természetesen is, de vannak más tényezők, ezt a funkciót). Ezért a matematikusok ezt a struktúrát kapcsolatnak nevezik, és Γ i jk az affin (lineáris elmozdulás) összefüggés együtthatói. Találkozhat azzal is, hogy Christoffel szimbólumainak hívják őket. De ezt a nevet általában csak a Riemannian terek esetében használják.
Nos, végre ez a cikk tárgya van előtted. Beszéljünk most arról, hogy mit mondhatunk a kapcsolatról, amint azt már említettük. És miért van ilyen fontos struktúra az idő múlásával?
A csatlakoztathatóság fizikai jelentése elég egyértelmű a csatlakozási együtthatók meghatározásának módjától. Ezek a mérési eljárásban kiválasztott objektumok relatív változásainak arányai, mint egységek az átmenetben a pontok között a leírt térben. Nem tenzor, hanem általánosabb geometriai objektum. A matematikához (és a fizikához is) rendkívül fontos, hogy miként alakulnak át alkotóelemei más koordinátarendszerre való áttérés esetén, de itt nem kell ezt tudnunk. Fontos megérteni, hogy egy másik koordinátarendszerben a kapcsolati tényezők az objektumok viszonylagos változásainak arányát is jelzik, míg mások, vagyis az új mérési eljárás egységei. A kapcsolódásnak van egy másik, ismerete a fizikusok számára. A fizika szempontjából a kapcsolat nem más, mint egyetlen fizikai mező potenciálja. De most nem fogok összpontosítani erre. Részletesebben fogok foglalkozni azzal, ami a matematika (és ennek következtében a fizika számára is) kapcsolatát biztosítja.
Tér, amelyben mindegyik pontot felvette affin kapcsolat (a meghatározott együtthatók függvényében a pont egy koordináta-rendszerben, és ezzel az összes többi) hivatkozunk a terek az affin kapcsolat. A Riemannian és az euklideszi terek speciális kapcsolódási helyek. A jelenléte csatlakoztathatóság lehetővé teszi a kovariáns módon (azaz, összhangban az eredményeket semmilyen elfogadható koordináta) nem csak azért, hogy algebrai műveletek tenzorok (mérésekkel kijelölt objektumok), hanem a különbséget, sőt integrálni őket. E műveletek eredményei ismét a tenzorok, amelyek a kiválasztott objektumok mérési eredményeinek matematikai képei. Így a műveletek eredményei egy vagy több mért objektumhoz is illeszthetők.
Segítségével egy affin kapcsolat határozza művelet vagy abszolút kovariáns differenciálódás tenzor mennyiségben az ilyen terek. Ennek a műveletnek a jelzésére a D. szimbólumot használjuk, ellentétben a rendes különbség szimbólumával. D. De van még egy műveletet, amely szorosan kapcsolódik vele, amely az úgynevezett párhuzamos közlekedés vektorok és más tenzor egy görbe mentén. A matematikusok leggyakrabban szoros kapcsolatot vezetnek be pontosan a párhuzamos transzfer fogalmával. Természetesen semmi többlet nem jelenik meg, csak egy kicsit megváltoztatja a bemutató hangsúlyát. Felhívtam a figyelmet arra, hogy a skála komponenseinek változásait maguk a mérlegek mérik. De ugyanezt lehet kifejezett eltérést a következő skála (végtelenül közel), hogy a pont a szenvedés skálán önmagával párhuzamosan egy adott ponton. A „önmagával párhuzamosan” ekvivalens aránya DE = 0. értem, hogy, definíció szerint, a koordináta-rendszerben, az összes bázis vektor (egységek szükséges és elégséges, hogy leírja a tér) visszük át párhuzamosan, bármilyen koordináta vonal kiindulva egy adott pont . Vagyis, ha az elmozdulás a ponton alapján vektorok portolták párhuzamosan egybeessen a meglévő, az új helyen. Több Ez a meghatározás lehet kezelni, és az ellenkező - párhuzamos átvitel olyan transzfer, amelyben a hordozható vektor egybeesik az aktuális a ponton, ahol azt át. Az átvitt vektor komponensei a szomszédos ponton lévő vektor komponenseinek értékeihez vannak hozzárendelve. A definíció ilyen tulajdonságokat garantál minden koordinátarendszerben csak az alapvektorok esetében. Mégis kell világossá tenni, hogy ez a koordináta vonal azt a pontot, ahol az egyik alap vektorok egy érintőleges, hogy éppen ez a vonal irányába a vektor. De más vektorok, hogy létezik ezen a ponton, nem szükséges, hogy át párhuzamosan egy vonal mentén bármilyen koordináta rendszerben. De! Bármely koordináta rendszer, amelyben a vektort át előre meghatározott pararallelno vonal mentén (azaz az abszolút eltérés D sík mentén nulla)! Ez a koordináta-rendszer, amelyben a vektor (ha kontravariáns természetesen) az egyik alap vektorok, az egyik egység. És a megfelelő vonal koordinátája. Belátható a fentiek, az eredmény a párhuzamos átvitel bármilyen vektor függ az utat a transzfer.
Szeretném hangsúlyozni a kapcsolódás egyik legfontosabb tulajdonságát. Az együtthatókat a skáláink mérési eredményeihez hasonló skálán rögzítettük. Jól hangzik, de hogyan kell elvégezni az ilyen méréseket? Végül is, a mérleg létezésének szempontjából, elkerülhetetlenül minden létezésük idején megegyeznek magukkal! Egyébként pontosan ezt írja le a De i n = 0 kapcsolat. A szemünket semmiképpen sem zárjuk le. Mit jelent ez? És itt van. Igen, valójában nincs lehetőség a közvetlen útra, a mérési skálák mérésével, amelyek a jelenlegi világképet egy adott területen hozták létre, hogy pontosan a koordinátarendszerben rögzítsék a kapcsolódás formáját. De ez nem nagyon fontos. Elég, hogy felismerjük és figyelembe vesszük, hogy a választott mérlegek ponttól pontig változhatnak. Igen, ebben az értelemben bizonyos fokú bizonytalanság lesz. De mindent meg kell határozni a mért értékek közötti kapcsolatokról. Amint azt Ön is megértette, a megjegyzés a leírásra vonatkozik a kapcsolatok összekapcsolásának segítségével a valós világban. És a tiszta matematika világában, amely egyszerűen megvizsgálja, hogy milyen lehetőségeket nyújt ez az eszköz, egyáltalán nem létezik ilyen probléma. Úgy véljük, hogy a kapcsolat, és ez az! És tudod, mi a vicces? Kiderül, hogy ha az űrben lévő koherencia együtthatók a koordináták függvényeként ismeretesek, akkor minden ilyen térről ismeretes!
Igen, persze, hogy leírja ezt a "mindent", gazdag készüléket fejlesztett ki, amelyből csak néhány szót szólok itt. Annak ellenére, hogy a kapcsolat nem tenzor, létrehozza (a csatlakoztatott komponensekből algebrai műveletek és / vagy differenciálás segítségével alakulhat ki) számos nagyon fontos tenzor. Ezek közé tartozik a torziós tenzor és a görbület-tenzor. együtt a kanyargásokkal. Emlékszem, hogy ez azt jelenti, hogy az objektummérések eredményeként bizonyos kapcsolati tulajdonságokat lehet elérni. Ezután a terek besorolása a tulajdonságaik szerint kezdődik - ilyen körülmények között az egyik kap valamit, míg másokban ez van. Ennek megfelelően a terek neve - equiaffine. A Riemannián. affin. Euklideszi ... Euklideszi ismerős a legjobban. Mik azok a kapcsolatok szempontjából jellemzőek? De ez az. Először is ezek olyan terek, amelyekben speciális skálák vannak, amelyek minden ponton ugyanazok. Ha a skálák egyikét választjuk egy koordinátarendszer létrehozására a térben, akkor egy ilyen rendszer lefedi az egész teret, és az ehhez tartozó kapcsolódási együtthatók mindenhol nulla lesz. Másodszor, ezek a skálák lehetővé teszik egy metrika létrehozását is, amely szintén azonos a tér minden pontján! Azaz ilyen (és csak ilyen!) Tér és a lehetőség, hogy "jó" mértékegységek valósuljanak meg.