Poisson-eloszlás
Book reshebnik és hamarosan ez lesz a helyszínen
Kedves tanulók!
Most már használhatja az oldal több mint 20.000 összefoglalók, jelentések, kiságy, irány és diploma rabotami.Prisylayte minket az új művek, és közzéteszi azokat. Nézzük tovább építsük esszékötetem együtt.
Összesen 19 436 Abstracts.
Poisson eloszlás - (természetesen)
5. példa A körülmények, amelyek ott van a Poisson eloszlás. 8 6. Kommunikáció a binomiális eloszlás. 11
7. Gyakorlati példák. 12
8. következtetést. 15
9. A hivatkozások listáját. 16
Bevezetés.
Valószínűségszámítás - matematikai tudomány, hogy a tanulmányok a minták véletlenszerű események. Ma ez egy teljes tudomány, amely nagy gyakorlati jelentősége van.
A történelem valószínűségszámítás nyúlik vissza, a XVII században, amikor az első kísérlet szisztematikus kutatási feladatokat végeztünk kapcsolatos tömeges véletlenszerű jelenségek és a megfelelő matematikai apparátus. Azóta sok alapítvány fejlesztettek ki és mélyült a jelenlegi elképzelések más fontos törvények és törvényszerűségek nyíltak. Sok tudós dolgozott és dolgozik a problémák az elmélet a valószínűség.
Közülük nem tudjuk figyelni, hogy a Poisson műveit (1781-1840), aki bebizonyította, sokkal általánosabb, mint a Jacob Bernoulli, a forma, a nagy számok törvénye, és az első, hogy alkalmazza az elmélet a valószínűség, hogy a problémákat a tűz. Poisson neve kapcsolódik az egyik az elosztó törvényeket, amely fontos szerepet játszik a valószínűségszámítás és alkalmazásai.
Ez a jogszabály az elosztó és a hangsúly ezen természetesen a munka. Ez egyenesen a törvény, annak matematikai jellemzőit, speciális tulajdonságai miatt a binomiális eloszlás. Néhány szó elmondandók gyakorlati alkalmazása és néhány példát a gyakorlatban. meghatározása Poisson-eloszlású.
Számos gyakorlati problémát kell foglalkozni véletlen változók által forgalmazott sajátos törvény, amely nazvaniezakona Poisson. Tekintsük folytonos véletlen X változó, amely akár csak egész szám, nem-negatív értékek a 0, 1, 2, .... m, ...; ahol a szekvencia ezen értékek nem elméletileg korlátozni. Azt mondják, hogy az X valószínűségi változó szerint vannak elosztva a Poisson törvény, ha a valószínűsége, hogy el fog tartani egy bizonyos értéket m, fejezi ki a képlet:
ahol egy - egy pozitív érték, az úgynevezett paraméter a Poisson törvény. Számos eloszlása az X valószínűségi változó szerint vannak elosztva a Poisson jog, az alábbiak szerint: Xm
Ábra. Az 1. ábra sokszögek eloszlása az X valószínűségi változó Poisson megfelelő különböző értékeinek a paraméter egy.
A főbb jellemzői a Poisson eloszlás.
Először is, győződjön meg arról, hogy a sorrend a valószínűségeket lehet több elosztó, azaz a. E. összessége, veroyatnosteyRm egységét.
Mi használ a bővítés a funkció ex Maclaurin:
Köztudott, hogy a sorozat konvergál minden x érték, azonban figyelembe x = a, megkapjuk
A főbb jellemzői - a várható értéke és szórása a véletlen változó által forgalmazott Poisson törvény.
Elvárás diszkrét véletlen változó nevezett összeget a termékek valamennyi lehetséges értékei által valószínűségek. Definíció szerint, ha egy diszkrét véletlen változó veszi megszámlálható értékrend:
Az első kifejezés az összegben (megfelel az m = 0) nulla, így, az összegzése lehet kezdeni m = 1:
Így a paraméter apredstavlyaet semmi, mint a várakozás valószínűségi változók. Variance valószínűségi változó Hnazyvayut matematikai elvárás a tér a véletlen változó eltérést matematikai elvárás:
Azonban ez sokkal kényelmesebb számítani a következő képlet szerint:
Ezért először megtalálni a kezdeti pillanatban a második X változó:
Szerint amit korábban bizonyított
Ezen túlmenően,
ezért
További lehetőség, hogy megtalálja a szórás az X valószínűségi változó:
Így a szórás a véletlen változó szerint szét kell Poisson jog megegyezik annak elvárása.
Ez a tulajdonság a Poisson eloszlás gyakran használják a gyakorlatban, hogy megoldja a problémát, hogy a hipotézis elképzelhető, hogy egy valószínűségi változó által forgalmazott Poisson törvény. Ebben a kísérletben meghatározzuk a statisztikai jellemzői - a várható értéke és szórása - véletlen változó. Amennyiben közel vannak, ez szolgál egy újabb érv amellett a feltételezést, miszerint a Poisson eloszlás; éles különbség ezek a jellemzők, ezzel szemben azt állítja, hogy egy ilyen hipotézist.
További jellemzői a Poisson eloszlás.
I. A kiindulási pont a sorrendben k az X valószínűségi változó az úgynevezett várható értéke Xk: BK = M (Xk).
Különösen, a kezdeti pillanatban a elsőrendű a matematikai elvárás: b1 = M (X) = a.
II. A központi ügyrendi k az X valószínűségi változó az úgynevezett várható értéke [X-M (X)] k: mk = M [X-M (X)] k.
Különösen a központi pillanata az elsőrendű egyenlő 0:
M1 = M [X-M (X)] = 0,
központi pillanatban a másodrendű diszperziót egyenlő:
m2 = M [X-M (X)] 2 = a.
III. Az X valószínűségi változó szerint vannak elosztva a Poisson törvény előírja, hogy annak a valószínűsége, hogy vállalja az érték nem kevesebb, mint egy előre meghatározott k. Ez a valószínűség jelöljük Rk:
Nyilvánvaló, hogy a valószínűsége Rk lehet kiszámítani az összege
Azonban ez sokkal könnyebb meghatározni a valószínűsége az ellenkező eseményt:
Különösen, a valószínűsége, hogy a X változó pozitívan kifejezett érték a következő képlettel
Példák a körülményeket, amelyek között van egy Poisson eloszlás. Mint már említettük, sok gyakorlati probléma vezet Poisson-eloszlású. Vegyük az egyik ilyen tipikus feladatokat.
Hagyja, hogy az abszcissza Ohsluchaynym pontok elosztott módon (ábra. 2). Tegyük fel, hogy egy véletlenszerű eloszlását pontok megfelelnek az alábbi feltételeknek:
Annak a valószínűsége, ütő egy bizonyos számú pontot az intervallum lzavisit csak a hossza ebben a szegmensben, de nem függ álláspontját az abszcissza. Más szóval, a pontok vannak elosztva az abszcissza az azonos átlagos sűrűsége. Jelöljük ezt a sűrűséget, azaz a. E. A várható eső pontok számát egységnyi hosszúságú, cherezl.
Pont vannak elosztva az x tengelyen egymástól függetlenül, azaz a. E. Annak a valószínűsége, ütő egy bizonyos számú pontot egy adott időszakban nem függ, hányan kapott bármely más szegmense átfedés nélkül velük. Annak a valószínűsége, ütő a kis részét Dhdvuh vagy több pont elhanyagolhatóan kicsi a valószínűsége, hogy egy ponton (ez az állapot gyakorlatilag lehetetlen egybeesés két vagy több pont).
Isolate az abszcissza bizonyos szegmens hossza l, és megvizsgálja a diszkrét véletlen X változó - a pontok száma eső ez a darab. Lehetséges értékek értéke 0, 1, 2, ..., m, ... Mivel a pontok esnie egy szegmens függetlenül, akkor elméletileg lehetséges, hogy lesznek-e olyan szám, azaz a. E. száma folytatódik a végtelenségig.
Azt bizonyítja, hogy az X valószínűségi változó Poisson eloszlás. Erre a célra kell számítani a valószínűsége, hogy a Pm szegmens esik pontosan m pont. Először oldjuk meg a problémát egyszerűbb. Tekintsük az x-tengely egy kis részét Dhi kiszámítja a valószínűsége annak, hogy ez a hely, hogy legalább egy pontot. Mi a következőképpen kell eljárni. A várható pontok száma csökken ezen az oldalon, nyilván ravnol? Dx (t. K. Misses hosszegységenkénti átlagos L pont). Under 3. feltétel a kis szegmens Dhmozhno elhanyagolni a lehetőségét csökkenő rajta két vagy több pont. Ezért a matematikai ozhidaniel? Dx pontok számát eső részének DX megközelítőleg egyenlő a valószínűsége, hogy egy pontot (vagy, hogy ilyen körülmények között egyenértékű legalább egy).
Így akár végtelen kis a magasabb rendű, a Ax> 0, akkor feltételezhetjük, valószínűsége, hogy a webhely Ax kap egy (legalább egy) pont megegyezik az l? Dx, és annak a valószínűsége, hogy az egyik nem fog semmilyen 1-c? Dx. Mi ezt kiszámítani a valószínűsége, ütő az intervallum Pm l pontosan m pont. L osztani a szegmenst n egyenlő részre hosszúnak kell hívni elemi részes Ax „üres”, ha nem kap pontot, és a „foglalt”, ha legalább egy találatot benne. Szerint a fent bizonyítottak a valószínűsége, hogy otrezokDh lesz „foglalt”, megközelítőleg egyenlő L? Dx =; a valószínűsége, hogy ő lesz az „üres”, egyenlő 1. Mivel, feltétel szerint 2, pont tartozó, nem-átfedő szegmenst független, láthatjuk, hogy a szegmensek nashin nnezavisimyh „kísérletek”, amelyek mindegyikében a szegmens lehet „foglalt” a veroyatnostyup =. Nézzük mi annak a valószínűsége, hogy az „alkalmazottak” lesz pontosan m között n szegmensben. Az ismételt vizsgálatok független tétel, ez a valószínűség,
vagy jelentése LL = a:
.
Elég nagy n, ez a valószínűség kb egyenlő a valószínűsége, hogy a szegmens pontosan l m pixel, m. K. Első két vagy több pontot egy szegmens Ax egy elhanyagolható. Ahhoz, hogy megtalálja a pontos érték Pm, el kell menni a határt, n>.
feltéve, hogy
és
,
azt találjuk, hogy a megkívánt valószínűséggel adják
ahol a = ll, t. e. a X érték Poisson eloszlás paraméterrel a = ll. Meg kell jegyezni, hogy a nagysága és az értelemben jelenti az átlagos száma kapcsolódó pontok az intervallum l. Az érték R1 (a valószínűsége, hogy az érték Hprimet pozitív érték) ebben az esetben kifejezi a valószínűsége, hogy otrezokl eléri legalább egy ponton: R1 = 1-e-a.
Így azt találtuk, hogy a Poisson-eloszlás alakul ki, ahol egy bizonyos ponton (vagy más alkatrész) foglalnak egy tetszőleges helyen egymástól függetlenül, és számolja a pontokat, hogy ebbe néhány régióban. A mi esetünkben ez a terület volt otrezoklna az x tengely. Ez a következtetés azonban könnyen kiterjeszthető a forgalmazás esetében pont a síkon (lapos mez® pont) és térben (térbeli pont véletlen mező). Könnyen bizonyítani, hogy ha a feltételek:
pontok egyenletesen oszlanak el a statisztikailag átlagos sűrűsége L; pont csökkenése a nem átlapoló területén, független módon; pont jelenik meg külön és nem párban, hármasával, és így tovább. d.
a pontok száma X kifogott bármely régió D (planáris vagy térbeli) Poisson eloszlású.
és ahol - az átlagos pontot tartozó területen D.
Sík esetben a = SD n, ahol SD - területe a régió D,
A térbeli és L = VD ahol VD - mennyisége a régió D.
A Poisson eloszlás a pontok száma alá szakasz vagy szegmens, a feltétel az állandó sűrűségű (n = const) lényegtelen. Ha két eltérő körülmények között a Poisson törvény egyébként kerül sor, csak az Érték szerez egy másik kifejezéssel: ez nem olyan egyszerű szorzás plotnostilna hossz, terület vagy térfogat, és az integráció a változó sűrűségű mentén szegmens területet vagy térfogatot.
Kommunikáció a binomiális eloszlás.
A jelenléte véletlen pontot szórt egy sort a sík vagy a képernyőn - nem az egyetlen feltétele van, amely alatt a Poisson eloszlás. Például ki lehet mutatni, hogy a Poisson törvény egy határ, hogy a binomiális eloszlás.
Binomiális eloszlás törvény az úgynevezett diszkrét X valószínűségi változó - Bizonyos számú előfordulás nnezavisimyh vizsgálatok, amelyek mindegyikében a valószínűségét az események ravnar; valószínűsége a lehetséges értékek X = m (száma m előfordulások) kiszámítása a következő képlet Bernoulli:
Ha ugyanabban az időben hagyjuk a kísérletek száma n a végtelenbe, és annak a valószínűsége, p - nullára, és ezek a termék np állandó marad np = egy, akkor a határérték tulajdonsága a binomiális eloszlás felírható:
A feltétel np = a, ebből következik, hogy
Az így kapott:
hogy bebizonyosodott felett.
Ez korlátozza tulajdonsága a binomiális jog gyakran használják a gyakorlatban. Tegyük fel, hogy készített egy nagy számú független opytovn, melyek mindegyikében egy esemény egy nagyon kis valószínűséggel p. Ezután, kiszámítására a valószínűsége Pn (m), hogy egy esemény A fog pontosan Mraz, ahelyett, hogy a pontos binomiális képletek használhatja a közelítő általános képletű
ahol np = a- paramétere a Poisson törvény, amely körülbelül helyébe a binomiális eloszlás.
Ebből ingatlan, Poisson - kifejezetten a binomiális eloszlású nagyszámú kísérletek és a kis valószínűségű események - a neve: a törvény ritka események. Példák a gyakorlatból.
A berendezés áll 1000 elemek felhasználásával egymástól függetlenül. A kudarc valószínűsége bármely eleme a T idő egyenlő 0, 002. annak a valószínűsége, hogy az idő nem volt hajlandó T pontosan három eleme van. Határozat. . Mivel a feltétel n = 1000 elég nagy, és m = 0, 002 kicsi, tudjuk használni a Poisson eloszlás:
ahol a = np = 1000? 0, 002 = 2.
Határozat. Események „ez a hatás volt megfigyelhető legalább egyszer” (jelöljük cherezR) és »ez a hatás nem volt megfigyelhető, még egyszer« (jelöljük Q), nyilván vannak ellentétes. Ezért a P + Q = 1, ahol p = 1-Q = 1-Pn (0) = 1-e-a.
Azzal a feltétellel, P = 0, 95, és így
e-a = 0, 05,
a = np = 3,
ahonnan
Így a kívánt átlagos száma vizsgálandó minták, 300 darab.
Annak a valószínűsége, egy nyertes lottószelvény p = 0, 01. Hogyan jegyet nyer legalább egyikük valószínűséggel P nem kevesebb, mint 0, 98?
Határozat. Annak a valószínűsége, győztes alacsony, és a jegyek számát a megvásárolni kívánt nyilvánvalóan nagy, így egy véletlen számot nyerő jegyek körülbelül Poisson-eloszlású.
Események „sem a megvásárolt jegy nem a győztes” és a „legalább egy jegy - nyertes” - az ellenkezője. Ezért az összeget a valószínűsége ezek az események egyenlő egy:
Pn (0) + P = 1 vagy P = Pn-1 (0) = 1- = 1-e-a.
Ezzel a feltételezés, P? 0, 98, vagy 1-he? 0 98. Hogyan mi? 0, 02.
A táblázatból keresse meg az E-3, 9 = 0, 02. Mivel a függvény e-x -. Hanyatlik, az előző egyenlőtlenség igaz ez? 3, 9, vagy NP? 3 9. N? 3, 9/0, 01 = 390. Így meg kell vásárolni legalább 390 jegyet nyer legalább az egyiket.
Az átlagos hívások száma jön a PBX egy perc alatt egyenlő 120. annak a valószínűsége, hogy nem kapott hívásokat két másodpercig a csere; két másodpercig a csere megy legalább két hívást.
Határozat. két másodpercig hívások átlagos száma a következő:
Annak a valószínűsége, hogy az állomás 2-másodpercig nem volt hívás:
Esemény álló részesülő legalább két hívás azt jelenti, hogy az állomás nem kaptak egyetlen hívást vagy a bevitt egyetlen. Tehát annak a valószínűsége egy kevesebb, mint 2-hívások ugyanakkor egyenlő:
Az X valószínűségi változó - az elektronok száma kibocsátott egy fűtött katód egy elektroncső idő t l - átlagos száma emittált elektronok időegységenként. Határozza meg a valószínűsége, hogy a t időpontban a száma kibocsátott elektronok kisebb, mint m (MON).
Határozat. l - átlagos száma elektronok, t - az emissziós időtartam tehát a = lt. P =
A izzókatóddal kibocsátott egységnyi idő átlagosan q (t) az elektronok ahol t - idő eltelt, a kísérlet kezdetén. Annak a valószínűsége, hogy az időtartama az idő intervallum, f, kezdve a t0 időpontban, a katód elektronokat repülni pontosan m.
Határozat. Find átlagos elektronok száma és a levegő a katód egy adott időtartam:
A számítások szerint, és meghatározza szükséges valószínűsége:
Végül.
Összefoglalva, azt látjuk, hogy a Poisson-eloszlás egy gyakori és fontos terjesztés, amelynek alkalmazások az elmélet a valószínűség és alkalmazásai, valamint a matematikai statisztika. Sok probléma a gyakorlatban szűkülnek le végül a Poisson-eloszlás. Különlegessége, ami abból áll, hogy az egyenlőség, a várható értéke és szórása, gyakran használják a gyakorlatban, hogy megoldja a problémát, egy valószínűségi változó által forgalmazott Poisson törvény, vagy sem.
Szintén fontos az a tény, hogy a Poisson törvény lehetővé teszi a valószínűsége események ismételt független vizsgálatok nagyszámú ismétlések tapasztalat és egy kis egység a valószínűség.