A téma integrálszámítás funkciók egyetlen változó (p

A görbe szimmetrikus a sarki LSI. Polárszög minden kardioid változik 0, fél kardioid szög eltér 0.

2.9. Kiszámítása az ív hossza sík görbe

1 esetben. Hagyja, hogy a derékszögű koordináták egy síkban görbe adott. Kiszámítjuk az ív hossza a görbe, a pontok közötti u (12.).

Vegyük az ív pontokat abszcissza és felhívni az akkord hosszát jelöli rendre. Akkor megkapjuk a szaggatott vonal írt egy ív. A hossza a szaggatott vonal

Definíció. Az ív hossza az úgynevezett határérték, amelynek célja, hossza feliratos lebontja, ha a hossza a lehető legnagyobb nullához:

A hossza a teljes ív közötti pontok és kiszámítása az alábbi képlet segítségével

16. példa Find a kerülete.

Határozat. Mi először kiszámítja a hossza egy negyed kör található egynegyede.

Okrezhnosti az egyenlet.

A hossza a teljes okrezhnosti

2. eset. Az ív hossza meghatározott görbe parametoricheski:

Úgy kell kiszámítani, az általános képletű

17. példa kiszámítása kerületi hossza meghatározott parametrikusan

Határozat. A teljes kerületén változik 0-tól, akkor, egy negyed kerületén változik 0-tól.

3. eset. Ha a görbe megadott polár koordinátákkal, akkor az ív hossza a görbe a gerendák között, valamint a zárt (ábra. 10), ki lehet számítani a következő képlettel

18. példa kiszámítja a hossza a kardioid.

Határozat. Minden kardioid szög változik a 0-ig felére - 0-tól.

2.10. A térfogat kiszámítása térfogat a test

1 esetben. A módszer a párhuzamos szakaszok.

Tegyük fel, hogy néhány szervezet ismert terület minden része a test a sík tengelyére merőlegesen (13.).

Ez a terület függ a helyzet a vágási sík, azaz, hogy a funkció a ..:. Legyen egy folytonos függvény. Rajzolj egy sík merőleges a tengelyre ttochku elválasztó intervallumban.

Ezek sík test betörni rétegeket. Minden intervallumban részleges hogy egy tetszőleges pont, és cserélje minden réteg a henger magasságának és a bázis. A térfogatot az egyes ilyen henger egyenlő. Ezután a kötet az egész test a lépés egyenlő lesz az összeg a kötetek. Mivel van egy folytonos függvény, akkor van egy véges határérték

Amely az úgynevezett mennyisége a szervezetben, azaz a. E.

19. példa Ide térfogata Theolen alkotott felületet.

Határozat. Építünk ez a test (paraboloid vágósík) (ábra. 14).

Rajzolj egy metszete tetszőleges pont. Szakasz lesz a körön szakasza egyenlet.

Ismeretes, hogy a terület egy kör következésképpen keresztmetszeti területe keresztül venni bármely pontján egyenlők

2. eset. Kiszámítása forgása a test teljes térfogatában.

Legyen görbe vonalú trapéz határolt folytonos függvény grafikon és az egyenes tengely, forog egy tengely körül (ábra. 15).

Ebben az esetben, egy tetszőleges test secheine síkban tengelyére merőleges, a kör sugarát, amelynek területén

Ha krivalineynaya trapéz korlátos folytonos függvény, és a közvetlen tengelyen és forog a tengelye körül, az összeg poluchennoggo forgástest lehet kiszámítani

20. példa találni térfogatú test által alkotott forgó egy parabola egy tengely körül által meghatározott egyenes vonal (ábra. 16).

Határozat. A kötet a forgástest tengelye körül képlettel számítottuk ki

A példánkban.

2.11. Hozzávetőleges kiszámítása határozott integrál

Nem minden neprerynoy primitív függvény kifejezhető elemi függvények. Ezekben az esetekben, a számítás által meghatározott általános képletű integgralov Newton-Leibniz nehéz és vannak különböző módszerek számítástechnikai határozott integrálok.

Elosztjuk az intervallum az integráció egy még alkatrészek száma lényegében parabola módszer lényege, hogy a terület a görbe vonalú trapéz megfelel az első két szegmens és a és korlátozott, előre meghatározott görbét helyébe területe ívelt trapéz, amelynek felső által határolt parabola áthaladó három pontot (17. ábra): ,,.

Parabolikus trapéz terület a szegmens lesz egyenlő

t. e. megvan a közelítő egyenlőség

és az egyes időközönként

Összefoglalva tér parabola trapéz, van

Ez a képlet a Simpson.

Példa. Számoljuk ki a integrál.

A integrálja binomiális eltérés a differenciál funkció nem értékeltük.

Elosztjuk az intervallum integráció 10 egyenlő részre, a hossza a részszakasz