Zheniya kettős integrálok problémák

a) egy sík lap változó tömegsűrűsége.

Tekintsünk egy vékony lemez elhelyezve egy lapos-Oxi és csont elfoglaló régió D. A vastagsága e lemez tekinthető olyan kicsi, hogy a sűrűség változása a vastagsága elhanyagolható.

Felületi tömege egy ilyen lemez egy adott pontot jelöl nevezett határa tömegarányból annak helyén területen, feltéve, hogy a párna szerződött egy adott pont.

felületi sűrűség így meghatározott függ csak a pont pozícióját, azaz, egy olyan funkció-CIÓ annak koordinátáit ..:

Ha a sűrűség konstans (), a tömege az egész lemez egyenlő lenne, ahol S - a terület a lemez. Most találtunk egy csomó nem egyenletes lemezek, tekintve, hogy a sűrűsége egy adott funkciót. Ehhez osszuk által elfoglalt területen a lemezt a részleges területet a terület (ábra. 16). A választás minden részterülete tetszőleges pont, azt feltételezzük, hogy a sűrűség minden pontján részterületen állandó és egyenlő plotnos TIV kiválasztott pontot. Mi alkotnak egy közelítő kifejezést a tömeg a lemez formájában az integrál összeg-ponti

(*)

A pontos tömeg kell találni expressziós mennyiségének határa (*) biztosított, és minden részleges régió szerződött a pontot. majd

b) A statikus pillanatok és a súlypont a lemez.

Térjünk a számítás a statikus pillanatok a lemez vizsgált körülbelül koordinátatengelyeken. Ahhoz, hogy ez a tömeg koncentrálódik az egyes részleges-TION területeken, és meghatározza a statikus pillanatok a kapott szálak sis anyaga pont:

Átadás a határ normál körülmények között, és helyette az integrál összege integrálok, megkapjuk

Találunk a koordinátákat a súlypont:

Ha a lemez homogén, vagyis, az egyszerűsített képlet:

ahol S - a lemezt a területen.

c) a tehetetlenségi nyomatékok a lemez.

A tehetetlenségi nyomatéka az anyag P pont egy m tömegű kapcsolatos bármely tengely a termék tömeg per távolság négyzetével a P pont a ezen a tengelyen.

Eljárás összeállítása kimutatások lemez tehetetlenségi pillanatok tengelyek körül pontosan ugyanaz, amit kiszámításához használt statikus pillanatokat. Ezért jelenleg csak a végső eredményt, figyelembe véve, hogy:

Vegyük észre azt is, hogy az integrál nevezzük centrifugális tehetetlenségi; jelezte.

A mechanika gyakran tekintik poláris tehetetlenségi nyomatéka egy pont megegyezik a termék a tömeges pont a téren való távolsága egy adott ponton - pole. Polar tehetetlenségi nyomatéka a lapnak a származási lesz egyenlő

4. számítása területek és térfogatok kettős integrálok.

Mint tudjuk, a V térfogata a test, korlátozott-TION felületen, ahol - egy nem-negatív funkció-CIÓ, ploskostyui hengeres felülete irányában-for-irányító, amely arra szolgál, mint a határ a D, és alkotó párhuzamos tengely Oz, egyenlő a kettős integráljával funktsiipo Region D:

Példa 1. Számítsuk ki a térfogatát, a test által határolt felületek x = 0, y = 0, x + y + z = 1, z = 0 (ábra. 17).

Határozat. D - kikelt ábrán. 17 ploskostiOhu egy háromszög alakú terület által határolt sor x = 0, y = 0, x + y = 1. Vonatkozó korlátozások a kettős integrál térfogatának kiszámításához:

Így a kocka. egység.

Megjegyzés 1. Amennyiben egy test, amely mennyiség kérik, restrikciós-Chenoa felső felülete és alsó felülete, ahol a nyúlvány felületek mindkét TPS-skostOhu régió D, akkor a V térfogata a test megegyezik a különbség a mennyiség a két „hengeres” tel; Az első ilyen hengeres testek alacsonyabb bázis terület D, és a felső - második test felülete van egy alsó bázis terület, mint a D, és a felső - felülete (ábra18).

Ezért, a V térfogat egyenlő a különbség a két kettős integrálok:

Könnyen tovább bizonyítja, hogy az (1) igaz nem csak abban az esetben, ha ineotritsatelny de aztán kogdai- minden folytonos függvény kielégíti a kapcsolat

2. megjegyzés: Ha a D mező változások aláírja, majd ossza a régió két részre: 1) a 2. régió, ahol D1) régió D2, ahol. Tegyük fel, hogy a D1 és a D2 tartomány olyan, hogy a kettős integrálok ezekre sweepek styam léteznek. Ezután, a terület D1 pozitív-integrál télen, és egyenlő lesz a hangerő fekvő síkja felett Oxy. Az integrál, mint a D2 negatív, és az abszolút érték egyenlő a térfogatának a test alatt fekvő, sík Oxy, Ezért, a D kifejezi az integrálási idő-Ness mindenkori kötetek.

b) számítása a terület a sík területet.

Ha tesszük a co-integrál összege a funkciót a domain D, akkor ez az összeg egyenlő lesz az S Ploscha di,

minden egyes partíció módszer. Pere halad, hogy korlátozza a jogot a egyenlő-CIÓ, megkapjuk

Ha D helyes. akkor a terület által kifejezett kettős integrál

Integrálása zárójelben, akkor nyilvánvalóan

2. példa Compute területén által határolt terület a görbék

Határozat. Az adatok határozzák pontok metszéspontja (19. ábra). Az ordináta A metszéspontok egyenlő, azaz , OtsyudaMy kapott két csomópont

Emiatt a szükséges területet