Rectifiable görbe - studopediya
azt mondta, hogy a folyamatos, ha a folyamatos x (t), y (t), Z (t). (Lehetséges, hogy meghatározza a folyamatos egy pontot, vagy állítva).
Egy adott parametrizatsiit Î[A. b] az elején a görbe - a pont (x (a), Y (a), Z (a)), a végén a görbe - a B pont (x (b), Y (b), Z (b)).
A zárt görbe egy görbe. amelynek vége egybeesik az elején.
Folyamatosan differenciálható görbe az úgynevezett, ha az X (t), y (t), Z (t) folyamatosan differenciálható.
Ez az úgynevezett sima görbe, amely folyamatosan differenciálható, és amely eleget tesz a feltétel „t. R ¢ (t) ¹0.
Piecewise sima görbe - a görbe, amely folyamatos, és egy véges számú sima darab.
5.2 görbe hossza
görbe hossza. Rectifiable.
rajz síkjában ügy
Definíció. G görbe nevezzük rectifiable ha véges legalább felső korlát. ahol a szuprémum veszi át az összes lehetséges partíció D szegmens [a, b]. Ez az érték az úgynevezett G görbe s hosszúságú.
Példa folyamatos nélkül rectifiable görbét.
Következő téglalap hossza felével egyenlő a bázis hossza a téglalap mellett a jobb bázis. Egységek száma szaggatott vonal írt egy téglalap vesszük, hogy a hossza a törmelék került csapdába a téglalap> 1.
1. Tétel A görbét, amelyet két görbe rectifiable rectifiable és annak hossza megegyezik a hosszúságok összegét az eredeti komponensek.
Bizonyítás. Legyen G = g ¢ + g ¢¢. Bármely razbieniyaDkrivoygsuschestvuyut razbieniyaD ¢, D ¢¢ krivyhg ¢, g ¢¢ úgy, hogy S (g. D) £ s (g ¢. D ¢) + s (g ¢¢. D ¢¢). Az ábra találkozásánál a két görbe akkord AB része helyébe két akkord AC és CB. Az összes többi akkordok válaszfalak változatlan marad görbe g
Mivel AB £ AC + CB, ez adja az arány a hossza görbék s £ s ¢ + s ¢¢ Másrészt, minden Parad ¢, D ¢¢ decompositions görbék g ¢, g ¢¢ razbienieDkrivoyg formákat, mert az SD (g. D) = s (g ¢. D ¢) + s (g ¢¢. D ¢¢). így a fordított egyenlőtlenség s ³ s ¢ + s ¢¢.
Tétel 2. Ha egy folyamatosan differenciálható görbe g, ez rectifiable és hossza megfelel s
Ahhoz, hogy a felső felület (b - a) £ s £ (b - a).
Amelyből a kívánt egyenlőtlenség.
Tétel 3 Ha a görbe g sima, akkor az ív hossza s (t) elejétől a görbe egy megfelelő pontban a paraméter értékét t, egy szigorúan monoton növekvő folytonosan differenciálható függvény, és
Bizonyítás. A helyszínen [t, t + Dt] teoreme2 által egyenlőtlenségek
Szükséges egyenlőség átmenet korlátozza priDt ®0, tekintettel arra, hogy a bal és jobb részei (1) van egy közös predelNaprimer, szigorúan monoton növekedése funkciót s (t) következik usloviyavypolnennogo számára sima görbe.
Következmény 1. sima g lehet választani, mint a paraméter az ív hossza a görbe elején akár ezen a ponton s = s (t).
Valóban, ez a funkció egy inverz t = t (s), és ezért, (t) = (T (S))
2. Következmény dt, DS 2 = dx 2 + dy 2 + DZ 2. DS - ívhossz elem.
Példa. A hossza egy szaggatott Y = CH x.
görbe paraméterezése választott formában X = t, Y = CH t. t Î[0, t0].
5.3 síkgörbék
A görbületi görbületi sugár.