Gyakorlati alkalmazása interpolációs sima függvények - összefoglaló
Irodalom
A számítógépes matematika fontos szerepet játszik interpolációs függvények, azaz építése az előre meghatározott funkciók egyéb (rendszerint egyszerűbb), melynek értékei egybeesnek megadott értékeket funkció számos ponton. És interpoláció elméleti és gyakorlati jelentősége. A gyakorlatban gyakran a probléma rekonstruálása folyamatos ő táblázatba foglalt értékek a funkció, mint például során kapott néhány kísérletet. Kiszámításához számos funkció, hogy hatékonyan hozzák polinomok racionális függvények. Elmélete interpolációs használják az építőiparban és a tanulmány a kvadratúra képletek numerikus integrálási módszerek megoldására differenciál és szerves egyenletek.
A mi esetünkben egy részletesebb ismertetése a téma közelebbről a koncepció interpoláció kezdeni magát, majd interpoláljanak közvetlenül sima függvények és sima interpolációs függvény ezen a ponton.
Célkitűzés: Annak vizsgálata Interpoláló sima függvények és gyakorlati alkalmazása interpoláció funkciókat.
1. Nyilatkozat az interpolációs probléma
polinom-interpoláció hibája
1.1 A kifejezés definíciója interpoláció
Egy f (x), különösen egy - vagy egy részének R, ismert az ár-érték véges ponthalmaz x1
, x2
, ..., xn
Î [A, b], és ezeket a pontokat az f (x) úgy definiáljuk, mint:
Azt akarjuk számítani, legalább megközelítőleg az értékek minden x.
Egy ilyen probléma merülhet fel a vezető különböző kísérletek, amikor az értékek a ismeretlen függvények határozzák diszkrét időpontokban, vagy a közelítés elmélet, amikor egy komplex funkciója viszonylag könnyen számított bizonyos értékeket az érvelés beállításához az asztalra, vagy grafikon funkciók, stb
Jellemzően, g (xi funkció
), Xi
Î [A, b]. amellyel a közelítés végzik, olyanok, hogy:
Egy ilyen eljárás az úgynevezett interpoláció vagy közelítése interpoláció. pont x1
, x2
, ..., xn
úgynevezett interpolációs csomópontok ha a pont x, amelynek kiszámítása f (x), kívül esik, az [a, b], majd a kifejezés használatát extrapoláció. A funkció g (xi
). úgynevezett interpolant.
Meg kell válaszolni a következő kérdésre.
1.2 Hogyan válasszuk ki a interpolant
Ezek a funkciók kombinációján alapuló elemi függvények.
- rögzített lineárisan független rendszer, és a () - a ma még ismeretlen paramétereket.
A matematikai megfogalmazása az interpolációs probléma a következő. Legyen R
- tere valós függvény az [a, b], és - adott egy véges vagy megszámlálható rendszer funkcióit R
, oly módon, hogy azok minden véges alrendszer lineárisan független. Adott véges ponthalmaz x1
, x2
, ..., xn
(xi
≠ xj
ha i * j) tartozó intervallum [a, b], és az adott f (x) a R
megtalálni funkció # 966;, amely egy lineáris kombinációja az úgy működik, hogy a megadott pontok és az értékek az f # 966; egybeesett. Más szóval, hogy meghatározza az állandók a1
, a2
, ..., an
azért, hogy
Egyértelmű, hogy miért, az együtthatók száma meg kell egyeznie a száma interpolációs csomópontok xi
. Ez biztosítja, hogy a mátrix szögletes volt rendszer (azaz, az ismeretlenek száma egyenlő lenne a számos feltétel, amelyek ezek ismeretlen). Ezen túlmenően, az egyedi megoldhatóságának a rendszerben (egy tetszőleges jobb oldali) szükséges és elégséges, hogy a determináns értéke nullától eltérő, azaz.:
Természetesen a interpolant kell építeni egy könnyebb számviteli funkciót, így gyakran az ilyen rendszerek:
1.3 A polinom-interpoláció
Ha hatáskörét, ..., xn
>, Akkor az egyik beszél algebrai interpoláció, és az interpolációs függvény neve egy polinom, és jelöljük:
akkor tudjuk építeni egy interpolációs polinom foka n és csak egy.
Találunk interpolációs polinom formájában (4). Ekkor alapján (5), azt a megállapítást, meghatározatlan együtthatók alkalmazásával lineáris egyenletrendszer:
Ebben az esetben, a meghatározó a rendszer lineáris algebrai egyenletek a következő:
Ez meghatározó tényező az Vandermonde meghatározó és nullától eltérő abban az esetben, ha az összes csomópont xi
más. Mivel a mátrix a rendszer nem-degenerált, majd az oldatot a rendszer létezik, és egyedülálló.
Az egyediség a polinom interpoláció lehet bizonyítani a következő módon. Tegyük fel, hogy van két interpolációs polinom
így vitán felül. Az egyediség a készlet. És mivel csak egy polinom, akkor a megfelelő a lineáris algebrai egyenletek csak egy megoldás.
1.4 Lagrange interpolációs polinom
Most a probléma, amely áll találni olyan polinom foka n, amely egybeesik adott f (x) a pontok x1
, x2
, ..., xn
Î [A, b], azaz az egyenlőség
A probléma megoldására, bemutatjuk a polinom foka n, hogy azokon a pontokon, amikor i ≠ j egyenlő nullával, és azon a ponton, amikor i = j egyenlő eggyel. Egyértelmű, hogy:
ahol a konstans A megtalálható a fj
(xj
) = 1, akkor
Így azt látjuk, hogy
Azt látjuk, hogy a probléma megoldódott polinom