csúszó szimmetria
Tulajdonság 2. A mozgás a síkban jelennek közvetlenül egy egyenes vonal, a fény a gerenda szegmensről szegmensre.
Ez közvetlenül következik az előző lemma tulajdonságait az 1. és a következő feladat hossz, sugár és közvetlen:
Következmény. A pontok nem fekszenek egy egyenes vonal, mozgást jeleníti pontban is hazugság egy sorba.
Az ingatlan 3. Mozgás megjeleníti félsíkra a félig sík.
Bizonyítás. Hagyja, hogy a egyenest (AB) határozza meg a fél-sík és a ¢. Ezután a vonal (A ¢ B ¢) = f (AB) osztja a gép a két fél-sík b és b ¢. A mi feladatunk, hogy megmutassuk, hogy a képek bármely két pont egyazon félsíkra is tartozik ugyanazon fél síkban, éppen ellenkezőleg, a képek két pontot, amelyek nem tartoznak ugyanazon félsíkra is tartozik ugyanahhoz félsíkra.
Let C pont Î Egy ¢. és a D pont Îegy, majd a [DC]Ç(AB) =
és (D C). Másrészt. Mert ezek a képek
(D ¢ ¢ C ¢), ahol a = [D ¢ C ¢]Ç(A ¢ B ¢).
Következésképpen, a C és D pontok ¢ ¢ tartoznak külön fél-síkok b és b ¢.
Ha most feltételezzük, hogy a C és D pontok ugyanabban félsíkban, például, és képeik C ¢ és D ¢ tartoznak a különböző félig sík, tekintettel arra a tényre, hogy a visszatérő mozgás jelenik pont C ¢ és D ¢ a C és D pontok tartozó különböző felezési sík, ami ellentmondás azzal a feltétellel, hiszen a C és D pontok tartoznak azonos félsíkra.
Az ingatlan 4 mozgás síkja f jelenik meg a sarokban szögben.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy egy szögletet ÐAOB. majd
F: AOB A ¢ O ¢ B ¢.
f: ÐAOB ÐA ¢ O ¢ B ¢.
Az ingatlan 5 Mozgalom sík állítja egy egyszerű arány a három pontot a vonalon.
Bizonyítás. Legyen C pont osztja a szegmens [AB] kapcsolatban l:
Másrészt, van
Mivel a mozgás megtartja a | l | és a hozzáállása „között fekszik” a mozgás megtartja az egyszerű arány a három pontot.