Az egyenlőtlenségek egyenlőtlenségek átalakítása - stadopedia
Mindenféle egyenlőtlenség (az egyenlőtlenségek jelei között <или>) átalakítható
az egyenlõségben az egyenlõtlenségek bal oldalán további változókat - maradék vagy felesleg1, amelyek az egyenlõtlenségekhez kapcsolódnak a "<"
és ">".
A "<" в левую часть неравенства вводится неотрицательная
maradék változó. Például a Reddy Mikks modellben (2.1.1. Példa)
az M1 nyersanyag mennyiségének korlátozását 6x, + 4x2 egyenlőtlenség formájában adjuk meg <24. Вводя новую неотрицательную переменную s. которая показывает остаток
(fel nem használt összeg) nyers Ml, ez a korlátozás egyenlőségre változik
6x, + 4 ^ 2 + s, = 24, s,> 0.
A ">" típusú egyenlőtlenségek LP-problémákban általában valami alsó határt szabnak. A túlmérték változó meghatározza a bal oldali érték felesleget
egyenlőtlenségek ezen a határon. Így a "diétás" modellben (2.2.2. Példa) az egyenlőtlenség
xi + x2> 800 azt mutatja, hogy egy élelmiszer-adalékanyag napi előállítása nem lehetséges
kevesebb, mint 800 font. Matematikailag ez az egyenlőtlenség az egyenlőséggel egyenértékű
x, + x2 - Sj = 800, S,> 0.
Az S túlmérték változó pozitív értéke a felesleget mutatja
napi kiegészítő termelés a minimális érték felett 800 font.
Fontos ismét hangsúlyozni, hogy a további változók a maradék st
és az S felesleg, mindig nem negatív.
Az egyenlet jobb oldala mindig lehet nem-negatív, mindegyiket megszorozzuk
egyenlőség -1-vel. Emellett megjegyezzük, hogy a "<" также преобразуется в неравенство типа ">"az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk -1-tel.
Például az egyenlőtlenség -jc, + x2 <-3 эквивалентно равенству
-xx + x2 + δ1 = -3, s,> 0.
Most, hogy az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk -1-gyel, egyenlőséget kapunk a nonnegativ-
jobb oldalán: x, -x2-s, = 3.
5. Simplex módszer algoritmus
A szimplex módszer algoritmusa megtalálja az optimális megoldást, figyelembe véve az elfogadható alapoldalak korlátozott számát. A szimplex módszer algoritmusa mindig elfogadható alapoldallal kezdődik, majd megpróbál egy másik megvalósítható alapoldalt találni, amely "javítja" az objektumfunkció értékét. Ez csak akkor lehetséges, ha bármely nulla (nem véletlenszerű) változó növekedése az objektumfunkció értékének javulásához vezet. De ahhoz, hogy a nem változó változó pozitívvá váljon, az egyik aktuális alapváltozót nullának kell alávetni, azaz. nem alapul. Szükséges, hogy az új megoldás pontosan m alapvető változókat tartalmazzon. A szimplex módszer terminológiájával összhangban a választott nulla változót nevezzük bemenetnek (a bázisban), és az eltávolított alapváltozót kizárjuk (alapból).
A beviteli mód kiválasztására és a szimplex módszerben a változók kizárására vonatkozó két szabályt az optimális feltételnek és az elfogadhatóság feltételeinek nevezik. Megfogalmazzuk ezeket a szabályokat, és figyelembe vesszük a szimplex módszer végrehajtása során végrehajtott műveletek sorrendjét is.
Optimális állapot. A maximalizálási probléma (minimalizálás) során bevezetendő változó egy nem-variancia változó, amelynek legnagyobb negatív (pozitív) együtthatója van a z-sorban. Ha a z-stringben több ilyen koefficiens van, akkor a bemeneti változó választása önkényesen történik. Az optimális megoldás akkor érhető el, ha a z-stringben a nem variancia változók összes együtthatója nem negatív (nem pozitív).
Az elfogadhatóság feltétele. Mind a maximalizációs probléma, mind a minimalizálási probléma esetében az alapváltozót kizártnak kell tekinteni, amelyhez a korlát jobb oldalának és a vezető oszlop pozitív együtthatójának aránya minimális. Ha több alapvető változó van ezzel a tulajdonsággal, akkor a kizárt változó választása tetszőleges.
A szimplex módszerben végrehajtott műveletek sorrendje.
1. lépés: Kezdeti elfogadható alapoldat.
2. lépés: Az optimalitási feltétel alapján meghatározzuk a bemeneti változót. Ha nincsenek bemeneti változók, a számítások befejeződnek.
3. lépés: A megengedhetőségi feltétel alapján a kizárt változót kiválasztjuk.
4. lépés: Egy új alapoldatot a Gauss-Jordan módszerrel számolunk. Folytassa a 2. lépéssel.
A simplex módszerben végzett számításokat iteratív módon hajtják végre abban az értelemben, hogy az optimális és megengedhetőségi feltételeket, valamint a számításokat a jelenlegi szimplex táblára alkalmazzák, ami a következő táblázatot eredményezi. Az egymást követő szimplex táblákat egymás után ismételjük.
SZEMÉLYI INITIÁLIS MEGOLDÁS
A 3.3.1. Példában a kezdeti megengedett alapoldat garantált,
Bebizonyosodott, hogy a szimplex módszer alkalmazásával kapott összes alapoldat elfogadható. A lineáris programozás problémái,
ahol minden korlát a "<" (с неотрицательной правой
rész), a további (maradék) változók lehetővé teszik a kezdeti elfogadható alap-megoldás létrehozását. Természetesen felmerül a kérdés: hogyan lehet megtalálni
A kezdeti megengedhető alapvető megoldás az LP problémákban, ahol a formában korlátozások vannak
a ">" típusú egyenlıtlenségek vagy egyenlıtlenségek?
A LP probléma kezdeti megengedhető alapoldala legegyszerűbb módja a mesterséges változók használata. Ezek a változók az első iterációban további maradék változók szerepét játszhatják, de
a későbbi iterációkról kiadják. A kezdeti megoldás megtalálására két, szorosan összefüggő módszert fejlesztettek ki
Mesterséges változók: M-módszer5 és kétlépcsős módszer.
Hagyja, hogy az LP probléma a szabványos formában legyen írva (lásd a 3.1 fejezetet). Minden olyan egyenlőség esetén, ahol nincs további változó maradék, bemutatjuk
egy A mesterséges változót, amely belép a kiindulási alapoldatba. De mivel ez a változó mesterséges (más szóval, nincs
milyen "fizikai értelemben" az adott feladatban), erre szükség van
későbbi iterációk, eltűnt. Ehhez az expressz cél
funkciók büntetést vezetnek be.
Az R változót egy elég nagy M pozitív szám segítségével megbecsüljük azáltal, hogy az objektív függvénybe a -MRj kifejezést maximalizáljuk
objektív függvény és kifejezés + MR, - minimalizálás esetén. Következésképpen,
Természetes feltételezni, hogy a folyamat egyszerűsíti a simplex módszert
A következő példa tisztázza a részleteket.
akár ez a módszer.
7. Kétlépcsős módszer.
A kétlépcsős eljárásnak nincsenek hátrányai, amelyek az M-módszerhez kötődnek
kerekítési hibák. A módszer neve alapján az LP probléma megoldásának folyamata két szakaszra oszlik. Az első szakaszban egy kezdeti elfogadható alapoldali megoldást keresünk. Ha ilyen megoldást találunk, akkor a második szakaszban megoldjuk az eredeti problémát.
1. lépés: Az LP problémát standard formában írjuk, és a szükséges mesterséges változókat hozzáadjuk a korlátokhoz (mint az M-módszer esetében)
hogy kiindulási alapot kapjunk. Az LP probléma megoldódott
a mesterséges változók összegének minimálisra csökkentése a kezdeti korlátokkal. Ha ez az új objektum minimális értéke
nagyobb, mint nulla, akkor az eredeti probléma nem elfogadható megoldás, és a számítási folyamat véget ér. (Emlékezzünk vissza, hogy a mesterséges változók pozitív értékei azt mutatják,
hogy a kezdeti korlátozási rendszer ellentmondásos.) Ha az új objektív funkció nulla, menj a második szakaszba.
2. lépés Az első lépésben kapott optimális bázikus oldatot az eredeti probléma kezdeti elfogadható alapoldataként alkalmazzuk.
8. A szimplex módszer használatának különleges esetei.
négy speciális eset fordult elő a simplex módszer használatakor.
2. Alternatív optimális megoldások.
3. Korlátlan megoldások.
4. Az elfogadható megoldások hiánya.
Az ilyen esetek tanulmányozása során elsősorban az ilyen helyzeteket kiváltó okok elméleti igazolására összpontosítunk,
gyakorlati értelmezéseiket a valós problémákra alkalmazzák.