Weierstrass-tétel
kiszerelhetjük növekvő szekvenciák ennek a tételnek a következőképpen:
Ha a szekvenciát növekvő és korlátos felett, akkor a határérték a szekvencia a legalább felső korlát:
A csökkenő szekvenciák:
Ha a szekvencia egy csökkenő és alulról korlátos, a határérték a szekvencia a legnagyobb alsó korlát:
Megjegyzés. Weierstrass tétel a határ egy monoton sorrendben - egy tétel a létezését limitáras megbízás, és nem nyújt olyan módszereket találni a határ.
Példák problémák megoldása
Tegyük fel, hogy a határ ezen szekvencia van, azaz:
Egyenlővé a jobb oldalán az utolsó két egyenlet, megkapjuk az egyenlet az alábbiak tekintetében:
-Egyenlet, megkapjuk
Az érték nem megfelelő, mert a korlát nem-negatív számok nem lehet negatív. Következésképpen, ha a határ meghatározott sorrendben létezik, ez 3.
Megmutatjuk, hogy létezik a határt. Erre a célra, a Weierstrass tétel, a szekvencia legyen monoton és korlátozott. Nézzük meg a különbséget
Utolsó nevező pozitív értéket, a számláló pedig negatív eredményt. Így, egy adott szekvencia és monoton nő. Kiderült, hogy a sorozat egyre csak a harmadik tag?
A monoton növekvő sorozat korlátozott, szükséges, hogy azt csak a tetején. Belátjuk, hogy minden. A bizonyítás teljes indukcióval.
1 lépés. Mi érvényességének ellenőrzésére egyenlőtlenség. Tény, hogy
2. lépés. Tegyük fel, hogy az egyenlőtlenség teljesül :.
3. lépés. Az egyenlőtlenségek ellenőrizni az alábbiakat:
Következésképpen, ha bebizonyosodik, hogy a következő egyenlőtlenség teljesül minden. És Weierstrass tétel adott szekvencia konvergál.