Tétel Ostrogradskii - Gauss és alkalmazása számítási elektrosztatikus mezők

A matematikai kifejezés a szuperpozíció elve az elektrosztatikus mező:

A kényelmes grafikus ábrázolása területen erővonalak vagy elektromos vezetékek.

mező vonal a pontok helye minden amelyek az intenzitás vektor tangenciális a erővonalak.

elektrosztatikus mező vonalak kezdődik pozitív töltéssel végződhetnek negatív (vagy menjen a végtelenig). A távolság a szomszédos erővonalakat, vagy a „sűrűség” helyét mutatja a térben a nagysága a térerősség a közelben. Jellemzően tartásba megszervezése távvezetékek olyan sűrűséggel, hogy a szám átlépte az 1 betét található. merőlegesen helyezkedik területén vonalak, egyenlő E.

Következő egy nagyon fontos kiegészítő jellemzője az elektromos mező az úgynevezett „flow”. Először is, úgy a „elemi adatfolyam”.

Elemi adatfolyam az elektromos térerősség az egész felületi elem DS úgynevezett belső termék vektort és a normál vektor az összeget pad DS.

Elemi terület része a felület olyan kicsi, hogy az egész ezen az oldalon lehet tekinteni, hogy a (nem változik a mérete, nem változik az irányt).

Ha felhívjuk a erővonalak a korábban meghatározott sűrűségben, a fluxus vektor keresztül a betéten lesz számszerűen egyenlő a sorok száma az erő, amely hatolni ezen a területen. Ebben az esetben az erővonalak, amelyek áthatják a talajt a normális irányú rögzítésre egy plusz jel, szemben a normál - egy mínusz jelet.

A átfolyó bármilyen felületre lehet összeadásával számítják ki (integráló):

Tétel Ostrogradskii - Gauss és alkalmazása számítási elektrosztatikus mezők

Gauss-törvény - az egyik alapvető törvényeit elektrodinamika - az egyik alapvető törvényeit elektrodinamika, az úgynevezett Maxwell-egyenletek.

Takarmány elektromos mező vektort bármilyen zárt felület (S0) arányos a teljes töltés (åqi) belsejében található V térfogat (S0), által határolt felülete S0 integráció.

Felvétel dekódolt formában a helyi sajátosságok:

ahol nullák jelzik a dugó felületén.

A fizikai jelentése: a forrás az elektromos mező a költségeket.

Engedély megjelölés térfogat töltéssûrûség:

ahol dV - elemi térfogat; dQ - az elemi töltés.

Ez könnyű bizonyítani a Gauss-tétel egy pont ellenében. Ebben a zárt felület a könnyű számítások lehet tenni formájában r sugarú gömb. koncentrikus a díjat. Ez kényelmes, mert minden ponton végig a felületre merőleges és ugyanaz az értéke:

Ebben az esetben, a számítás állandó mező fluxust lehet kivinni az integrál, az integrálási és a felszínen marad elemek, egyenlő a kiválasztott terület a gömb alakú felület:

Így, az érvényességét a Gauss-tétel egy pont díj és gömb alakú felület bebizonyítottuk. Ez a bizonyíték lehet általánosítani minden olyan rendszer, a terheket, és minden zárt felület.

Tétel Ostrogradskii - Gauss, hogy meghatározzuk az erejét az elektrosztatikus tér bármely térben elosztott díjat. Általában ez megköveteli a speciális matematikai módszerek megoldást. Ahhoz azonban, hogy eloszlása ​​szimmetrikus díjak lehet meghatározni a térerősség elemi módszerekkel.

Példaként határozzuk meg a térerő végtelen, egyenletesen töltött sík. Characterized sík felületi töltéssűrűség s (költség per egységnyi felületre).

A rendszer a Gauss-törvény kiszámításához térerősség:

1. Abban az esetben, egy végtelen sík nem nehéz kitalálni, hogy a vektor legyen merőleges a síkra. Tény, hogy a jobb oldali ábra mutatja az összes mező két pontja díjat a gép, van szimmetrikusan a megfigyelési pont A. Mint látható, a vektor merőleges a síkra. Abban az esetben van egy végtelen sík szimmetrikus minden pontban díjat. Összegző pontot hátba területén síkban szimmetrikus párban, ennek eredményeként kapjuk a mezőt síkjára merőleges.

S0 2 kiválasztása egy zárt felület formájában egyenes henger átkelés a sík merőleges irányban. Az ilyen felület hasznos kiszámításához az áramlás, ahogy egy oldalfelülete az áramlás vektor a nulla és a nem nulla, csak két bázispárban S egyes területeken. Számoljuk (az áramlás meghatározás):

3. Számítsa ki a teljes díj åQi a határolt térfogaton felületre. Az ábra a felelős árnyékos része sík terület S. tehát:

4. Helyettesítő áramlás és töltse fel a törvény Ostrogradskii Gauss:

5. Ebből kapcsolatban találjuk a térerősség:

Látjuk, hogy a területen nem függ a távolság a síkban, vagyis Ez homogén.

Feszültség - jellemző elektromos mező vektort. A potenciáját al - további skaláris mező jellemző. Az ilyen jellemzés beadhatók csak a potenciális mezők, a területeken, ahol a munkát erőtér mozgatására a tárgy mentén, zárt pályán nulla, és a mozgás nem függ az alak a útvonalat, amely mentén van mozgatni, ez függ csak a koordinátáit a kiindulási pont az 1. és végét 2 pont.

Az úgynevezett potenciális skalármező jellemző számszerűen egyenlő a térerősség az elmozdulás „teszt” (egyszeri és pozitív) töltést egy adott pont, amelynek sugara vektort. egy másik előre kiválasztott pont, amelynek a sugara vektort. ami a potenciális vesszük nulla ().

Elemi munka az erőtér a formája (használja a kapott információkat a mechanika):

Az erő az elektromos mező. ezért.

És az elemi növekmény lehetséges megkapjuk

Összefoglalva (integráló), megkapjuk az érték a potenciális ponton a koordináta. Ha a referencia pont, hogy a lehetséges a pont:

Megvan az egyenlet kapcsolatot a további funkciók - épület fő jellemzője - feszültséget.

Célkitűzés: hogy visszajelzést kapjon egyenlet, azaz E-j. Mi használ a kifejezés a dj és kap:

derivált koordinátáit (változási sebessége a térben). De a kérdés továbbra a tér irányában az űrben.

A pontosabb nyilvántartás kötelező potenciál és feszességét a vektor operátor. nabla operátor. amely az alábbi három összetevőből áll:

ahol; ; - parciális deriváltak a koordináták (eltér szokásos származékok, amelyek bemenet a funkció a több változó kiszámítása során a származék egyik koordináta eltérő koordinátákat kell tekinteni állandó);

j - skalár függvényében három változó j (x, y, z). Vector üzemeltető a potenciálnak a következő formában:

Minden komponens egyik komponense a feszültség a három tengely. A vektor van írva, mint:

Az egyenlet a kommunikáció és a j (grad szövege a „gradiens”).

A definíció szerint a potenciál működésével kapcsolatos, a mozgó egység töltés, így megszorozzuk a lehetséges a teszt töltés érték, megkapjuk a mozgását a töltés, azaz Megkapjuk a potenciális energia díj egy adott pontján az elektromos mező:

ahol EPOT. - a potenciális energia díjat.

Hogyan használhatjuk ki a lehetséges problémák megoldására?

Sokkal kényelmesebb használni nem lehetséges, és annak szaporulata illetve változás, valamint a „potenciális különbség”.

A meghatározás a növekmény bármely jellemző és a szimbólum - a növekmény a potenciál, kapjuk: