Az általános érvényességét és megvalósíthatóságát képletek
8. meghatározása képlet elsőrendű logika nevű kielégíthető M-ben, ha vannak változók szerepelnek ebben a képletben, és rendelt a M (egyébként - van egy modell), ahol a képletben A a valódi érték.
Opredelenie9. A képlet a elsőrendű logika nevezzük megvalósítható. ha van olyan terület, ahol ez a képlet megvalósítható.
10. meghatározása képlet elsőrendű logika úgynevezett azonosan igaz az M (futtatható), ha megkapja az igazi érték az összes változót tartalmazza ezt a formulát, és rendelt a térségbe.
Definíció 11. A formula elsőrendű logika hívják érvényes. amennyiben azonos igaz minden tartományban (minden modell).
Ha két ekvivalens képletek elsőrendű logika, hogy csatlakoztassa a ismerős egyenértékűségét. majd a kapott formula kerül egy értéket, és minden sor változók bármely területén, azaz a Nem lenne általánosan érvényes.
Ez a koncepció általánosítása azonosan igaz formulák propozicionális logika. Minden logikai törvények, be propozicionális logika képletek érvényesek általános képletekben elsőrendű logika és kifejezni, valamint más, egyetemesen érvényes képlet, a logika törvényei nyelvén elsőrendű logika.
Az általános érvényességét elsőrendű logika képletnek, például, F jelöli # 9500; F. Minden általánosan érvényes képlet forrása lehet az új # 9500; képleteket. Például ebben az esetben a kizárt harmadik törvény - ahelyett, hogy x állítmány P (x1, ..., xn), megkapjuk egyetemesen érvényes képlet P (x1, ..., xn) (x1, ..., xn). Ha n = 1, van egy általánosan érvényes képlet. és így - általánosan érvényes elsőrendű logika formula.
Az azonos igaz propozicionális logikát képletű helyettesítésével x predikátum P (x, y), és ahelyett, y- predikátum Q (x, y) megkapjuk képletű egyetemesen érvényes és t. D.
12. meghatározása képlet elsőrendű logika úgynevezett hamis egyformán M, ha megkapja a hamis értékek valamennyi változó szerepel ez a képlet alapján, és a terület (más szóval, ebben a modellben).
Definíció 13. A formula elsőrendű logika hívják hamis személyazonosság (lehetetlen), ha az azonos hamis bármely régió (minden modell).
Például, a képlet azonosan hamis (lehetetlen) elsőrendű logika formula.
A fenti meghatározások egyértelműen következik:
1. Ha a képlet érvényes, akkor lehetséges, hogy minden tartományban (modell).
2. Ha a képlet tautológia M, akkor megvalósítható ebben a régióban.
3. Ha a képlet azonosan hamis Moszkvában ez nem megvalósítható ezen a területen.
4. Ha a képletű nem megvalósítható, akkor azonosan hamis bármely régió (minden típus).
5. A képlete elsőrendű logika volt érvényes, ha, és csak akkor, ha a negáltja nem volt megvalósítható.
6. Annak érdekében, elsőrendű logika képletű megvalósítható volt, szükséges és elégséges, hogy a képlet nem volt általánosan érvényes.
Példa 1. Bizonyítsuk ekvivalencia (logikai azonosság):
Megjegyezzük, hogy az egyes kvantor subformulae egyéni változók egymástól, és ezért azok nyilatkozatok, bemutatjuk a jelölés:
V vagy jelentése első és második tárgy változók által n1 és n2 rendre:
Ebben a jelölési készlet a figyelmet a személyazonosság lenne :.
Így összegű konverzió érvényességét ellenőrizni ezt az azonosságot:
Leírni ezt a kifejezést, mint egész, azt látjuk, hogy ez általánosan érvényes képlet.
2. példa Annak meghatározására, hogy milyen típusú formula.
Legyen P (x). "A számú x - még -" predikátum meghatározott M = N 2.
Ezért, mivel ebben a modellben a képlet a következő állítás: „Az egyik természetes számok léteznek mind a páros és páratlan.” Nyilvánvaló, hogy ez az állítás igaz, és így a képlet F tautológia ebben a modellben.
Azonban, ha ugyanaz a predikátum beállítva a beállított M = NHN ahol N - meghatározott páros számok, a képlet F egy ilyen modell lenne egy hamis identitás.
Tekintettel a fentiekre, arra a következtetésre jutunk, hogy a fenti képlet F megvalósítható (de nem általánosan érvényes).
3. példa Hogy illeszkedjen a modell képlet, amelyben azonosan igaz (és így általában megvalósítható).
Legyen P (x, x, y): "x · x = y", vagy más "x 2 = y" - predikátum meghatározott a természetes számok halmaza, azaz a M = N. Akkor úgy képlet fejezi ki azt az állítást, hogy létezik a természetes tér egy természetes szám, amely nyilvánvalóan igaz, vagyis, A modell formula azonosan igaz, ha szükséges.
4. példa Tekintsük a képlet. Megvalósítható képlet. Valóban, ha F (x, y, x): "x + y = x" - predikátum összeget, akkor ott vannak M = N szubsztitúciót az adott y értékek, engedélyező igazság érték a képlet. Nyilvánvaló, hogy ez az y = 0, mivel ebben az esetben megkapjuk az „x = x”.
Ha P (x, y, x): "xy = x" - predikátum terméket, akkor ez a y értéke y = 1, mivel kapjunk igaz állítás vele.
De ez csak egy helyettesítés, ami egy igaz állítás, hogy azt mondja, hogy a megvalósíthatósági az (de nem annak érvényességét).
Példa 5. általánosan érvényes képlet a következő:
Legyen P (x, y) - annak érdekében, állítmány (bináris reláció) „” definiált véges természetes számok halmaza M1. Aztán, amikor behelyettesítjük a képlet helyett a szabad változó y értékek kapunk egy igaz állítás, és helyettesítésével bármely más, a sok állandók M1 - hamis. Így nézett képlet nem általánosan érvényes.
6. példa Tekintsük a képlet. Megmutatjuk, hogy ez nem lehetséges.
Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz hogy ez megvalósítható. Ez azt jelenti, hogy létezik egy sor M és egy adott predikátum neki, hogy mikor. akkor ez a formula alakítjuk egy adott predikátum. amely viszont átalakul egy igaz állítás, ha a helyére y minden halmaz elemeit M. Tegyen meg minden. Ezután az állítás igaz, mint az imént telepített. Következésképpen, nyilatkozatok és igaz.
Az az igazság, a második állítás, arra a következtetésre jutunk, hogy egy állítás igaz (mert „az összes tárgy változók”, nem számít, hogyan jelölték). De ez ellentmond az igazság az első állítást.
Így a mi feltevésünk megvalósíthatóságát Formula helytelenül.
Megoldhatóság probléma elsőrendű logika van elhelyezve, ugyanúgy, mint az algebra logika, hogy algoritmusokat véve minden elsőrendű logika képlet létezik, hogy milyen típusú (osztályú) támogatja, azaz függetlenül attól, hogy érvényes, végrehajtható azonos vagy hamis (lehetetlen). Ha ilyen algoritmus létezik, mint a propozicionális algebra, akkor csökkenteni kell a kritérium azonos igazság minden formula elsőrendű logika. Megjegyzendő, hogy ellentétben algebra logika, elsőrendű logika módszer alkalmazásának nem keres minden megvalósítási módjának változók formula, mivel az ilyen lehetőségek végtelen.
Levezethető - példa megoldhatatlan formális rendszer. Döntésképtelenség levezethető bizonyult 1936-ban, az amerikai logikus Alonzo Church. A tétel kimondja bizonyították hiányában egy hatékony eljárás annak eldöntésében körülbelül egy tetszőleges képletű formális rendszer tartalmazó aritmetikai természetes számok, hogy ez a képlet tétel.