Markov-lánc
Markov-lánc
Probléma 1. Adott egy mátrix átmeneti valószínűségek a Markov-lánc diszkrét i -edik j -edik állapotot egy lépésben (i. J = 1, 2). valószínűségi eloszlás Államok a kezdeti t = 0 időpontban a vektor által = (0,1, 0,9). Keresés:
1. A lánc átmenet mátrix P2 az i állapot egy j állapot két
lépésre;
2. valószínűségi eloszlás Államok időpontban t = 2;
3. Annak a valószínűsége, hogy t = 1-lánc feltétel A2;
4. stacionárius eloszlása.
Határozat. A diszkrét Markov-lánc esetében homogenitását kapcsolatban
ahol P1 - az átmenet valószínűségi mátrix egy lépéssel;
Pn - mátrixa átmeneti valószínűségek n lépéseket;
1. Keresse meg a mátrix P2 átmenet két lépésben
Tegyük fel, hogy S edik lépésben valószínűségi eloszlás állapotok által meghatározott vektor
.
Ismerve az átmenet mátrix Pn n lépéseket, meg tudjuk határozni a valószínűség-eloszlási fölött állapotok, az (S + n) -edik lépésben. (5)
2. Keresse meg a valószínűségi eloszlás államok a rendszer idején t = 2. Az (5) S = 0 és n = 2. Aztán.
3. Találunk egy valószínűségi eloszlás államok a rendszer idején t = 1.
Az (5) s = 0 és n = 1, akkor.
Ami azt mutatja, hogy annak a valószínűsége, hogy t = 1 állapotban áramkör A2 egyenlő lesz P2 (1) = 0,69.
A valószínűségi eloszlás az államok úgynevezett helyhez kötött, ha ez nem változik lépésről-lépésre, hogy van,
A kapcsolatban (5) ha n = 1 megkapjuk
4. A folyamatos forgalmazás. Mivel már = 2 = (p1, p2). Írunk a lineáris egyenletrendszer (6) koordináta formájában
Az utolsó feltétel az úgynevezett normalizáció. A rendszer (6) mindig van egy egyenlet egy lineáris kombinációja mások. Ezért el lehet hagyni. Nézzük az egyenlet megoldásához rendszer együtt első és a normalizálás. Van 0,6r1 = 0,3r2. azaz p2 = 2P1. Ezután p1 = P1 + 2-es vagy 1, azaz. Következésképpen ,.
válaszolni:
1) Az átmeneti mátrix két lépésben egy adott Markov lánc formájában;
2) A valószínűségi eloszlás Államok időpontban t = 2;
3) a valószínűsége, hogy t = 1-től lánc állapotba A2. jelentése P2 (t) = 0,69;
4) a formája egy stacionárius eloszlás
Tekintettel Markov átmeneti mátrixa intenzitások a folyamatos láncot. Létrehozása markup állapotban gráfot a mátrix Λ; hogy Kolmogorov differenciálegyenlet-rendszert az állam valószínűségek; megtalálni a határt valószínűségi eloszlását. Határozat. A homogén Markov-lánc egy véges számú Államok A1. A2, ..., és jellemzője a mátrix átmeneti intenzitások,
ahol - az intenzitás a átmenet a Markov-lánc állapotban Ai kijelenteni Aj; rij (At) annak a valószínűsége átmenet Ai → Aj az időintervallum At.
Az átmenet állapotában kényelmesen beállítható a jelet az állami grafikon, amely jelezte az ív az intenzitásnak megfelelő λij> 0. Compose jelölő állam grafikon egy adott átmeneti mátrix intenzitások
Let - vektor valószínűségek pj (t).
j = 1, 2, ... ,, megállapítás a rendszer állapotban Aj t időpontban.
Nyilvánvaló, 0≤rj (t) ≤1 és. Ezután szerint a szabály differenciálódása skalár érv vektorfüggvény get. A valószínűségek PJ (t) kielégíti a differenciálegyenlet-rendszert Kolmogorov (SDUK), amely a mátrix formájában formában. (7)
Ha a kezdeti időben a rendszer képes volt Aj. SDUK hogy kellene megoldani a kezdeti feltételek
pi (0) = 1, PJ (0) = 0, j ≠ i, j = 1, 2, ...,. (8)
A beállított SDUK (7), és a kezdeti feltételeket (8) egyedileg ismerteti homogén Markov-lánc folyamatos idő és véges számú Államok.
SDUK alkotnak az előre meghatározott Markov-lánc. AS = 3, J = 1, 2, 3.
(7) megkapjuk
.
Így van
Az utolsó feltétel az úgynevezett normalizáció.
A valószínűségi eloszlás az államok úgynevezett helyhez. ha ez nem változik idővel, vagyis ahol rj = const. J = 1,2, ...,. Itt van.
Majd SDUK (7) kapunk egy rendszert találni a stacionárius eloszlás
(9)
Erre a feladatra, mi lesz ettől SDUK
Mivel normalizálódása feltételek teljesülnek 3P2 + P2 + p2 = 1, vagy. Ezért a határeloszlása formájában.
Megjegyzendő, hogy ez az eredmény lehet beszerezni közvetlenül a kijelölt állami grafikon, ha használjuk a következő szabály: az álló összeg eloszlása termékek λjipi. j ≠ i. nyilak származó i-edik állapotban, egyenlő a termékek λjipi. j ≠ i. nyilak tartalmazza az i -edik állapotban. Tény, hogy
Nyilvánvaló, hogy az így kapott rendszer egyenértékű által kidolgozott SDUK. Következésképpen ez ugyanaz a megoldás.
Válasz: stacionárius eloszlása is.
oktatóanyagok
Kínálunk a legtöbb jó véleményünk tankönyvek az önálló tanuláshoz matematika és a közgazdaságtan
Irodalom
Kompakt referenciaanyagok, képletek különböző részeihez magasabb matematika és gazdasági statisztikák.