A gyűjtemény algebra problémák

FUNKCIÓK ÉS HATÁROK IX

§ 207. periodikus függvények

Funktsiyau = f (x) nevezzük periodikus, ha létezik számos t = / = 0, úgy, hogy minden érték az x a tartomány a ztoy funkciót.

Számú T ebben az esetben az úgynevezett időszakban a funkciót.

Periodikus, például trigonometrikus függvény az y = sin x és y = cos x. Idejük egyenlő 2π. Egy példa a periodikus nontrigonometric függvény az y = x>, amely minden egyes szám x hozzárendeli annak tört részét *.

Körülbelül törtrészét cm. A VIII, § 187.

Például, = 0,56; = 0,01, stb Ha egy véletlen számot x adjunk hozzá 1, akkor a változások csak egész részét ez a szám; a tört része ugyanaz marad. Ezért, x + 1> = x>, és ezért a függvény az y = x> jelentése periódusidővel 1.

A következő egyenletből az F (x + T) = f (x), ebből következik, hogy minden függvény értékei y = f (x) lépést egy időszak T. Ez tükröződik a grafikus szemléltetése periodikus függvények. Például, a [0, 2π] szinuszoid ugyanolyan alakú, mint abban a intervallumokban [2π. 4π], [4π. 6π] és t. D. (ábra. 282).

Az ábra 283 egy grafikon, a függvény az y = x>. A periodicitás függvény az y = x> határozza meg, hogy a grafikon a [0, 1] ugyanolyan alakú, mint a intervallum [1, 2] [2, 3], és így tovább. D.

Ha a T - időszak az f (x), akkor 2T, 3T, 4T, stb is az időszakokat a funkció ...

.., stb Ezen kívül, az időszak az f (x) is vállal a számok: - C, - 2T, - 3T, stb Tény.,.

és t. d. Tehát, ha a szám T az az időszak az f (x), akkor, bármilyen n egész, az n szám T, mint ameddig ezt a funkciót. Ezért minden periodikus függvény végtelen időszakok száma. Például, az időszak a függvény az y = sin x feltételezheti bármelyike ​​számok: 2π. 4p. 6π. - 2π. - 4π. és azt az időszakot a függvény az y = x> - bármely számot 1, 2, 3, - 1, - 2, - 3, stb ...

Szólva az időszakban a függvény y = f (x), általában véve a legkisebb pozitív időszakban. Tehát azt mondjuk, hogy az időszak az y = sin x az a szám, 2π. időszak a függvény y = tg x - számot π. időtartam x> - 1-es és így tovább ..

Azonban meg kell jegyezni, hogy az a legkisebb pozitív időszak periodikus függvény nem lehet.

Például, egy f (x) = 3 (ábra. 284) bármely valós szám időszakban. De nincs messze a legkisebb pozitív valós számok. Ezért, az f (x) = 3, amelynek végtelen számú időszakok nem a legkisebb pozitív időszakban.

Minden ilyen funkciók (№ 1613-1621), hogy megtalálja a legkisebb pozitív időszak:

1622. Igazoljuk, hogy az összeg és a termék a két funkció, melyek periodikus azonos időszakban T, periodikus függvények időszakban T.

1623 *. Igazoljuk, hogy a függvény az y = sin x + x>, amely összege két periodikus függvények a = sin x és y = x> önmagában nem periodikus.

Vajon ez nem mond ellent az eredmény a korábbi probléma?

Befejezés 1624. Amint azt a grafikon y = f (x), periódusidővel T, ha be van állítva csak a [0, T]?