Diszkrét matematika - Division 1

Ez és a következő két szakaszt szentelt a figyelmet a három konkrét műveleti osztályok: önduális, monoton és lineáris.

Definíció. A funkció g (x1, ..., xn) nevezzük dvoystvennoyk f (x1, ..., xn), ha a egyenlőség

Például, x × y kettős x Ú y, és fordítva. Ez következik a egyenletek x × y = N (n (x) Ú n (y) és x Ú y = N (n (x) × n (y)), amelyek már idézett. Funkció x ® y kettős funkciója n (x) y, mivel az N (N (X) ® n (y) = N [N (N (x)) Ú n (y)] = n (x Ú n (y)) = n (x) y. Vegyük észre, hogy az első egyenlet alapján végezzük a törvény 20 a második 19 és a harmadik 18 és 19.

Definíció. Az f (x1, ..., xn) nevezzük önduális. ha az egyenlőség

Más szóval, a self-kétfunkciós, ha ez egybeesik a kettős.

Íme néhány példa. Ez könnyen belátható, hogy a önduális funkciók azonosságának funkció és a negáció: n [e (n (x))] = n [n (x)] = x = e (x), N- [N (N (x))] = n (x). Ugyanakkor, a termék x × y nem önduális óta dually diszjunkciót x Ú y és x × y ¹ x Ú y. Meg lehet mutatni, hogy nincs funkciója két változó, attól függően, lényegében minden érv, nem egy önduális. Egy másik példa a önduális funkció a függvény

By (2), h (x1, ..., xn) - önálló kettős funkciója van. Következésképpen, az osztály S zárt a szuperpozíció.

A következő nyilatkozat az úgynevezett lemma a nesamodvoystvennoy funkciót.

Lemma. Legyen f (x1, ..., xn) - nesamodvoystvennaya funkciót. Ezután a záróelem az osztály K = 1, ..., xn), n (x)> tartalmazza a konstansok q (x) és i (x).

Bizonyítás. Mivel f (x1, ..., xn) - nesamodvoystvennaya funkció, vannak a1, ..., an Î B úgy, hogy

A szett B csak két példány. Ezért az egyenlő ez az egyenlőtlenség

Kényelmi jelölési azt feltételezzük, hogy az a1, ..., ak = 0, ak + 1, ..., an = 1. Akkor tudjuk írni az utolsó egyenlet az alábbiak szerint:

ahol pontosvesszővel elválasztja a k-adik argumentum a (k + 1) -edik.

Megjegyezzük, hogy g (x) tartozik [K]. Van egyenlőség

Ezért, g (x) - az egyik állandók tartozó [K]. Mivel a K tartalmazza a tagadás, a másik tartozik az állandó [K].

A rész lezárásához tartjuk egy példa a probléma megoldásának, hogy felismerik a önduális: annak meghatározása, hogy az f (x1, x2) = x2 × (x2 ® x1) önduális? (Azt azonban már tudjuk, hogy f (x1, x2) nesamodvoystvenna, de meg kell bizonyítani). A kérdés megválaszolásához egy táblázat, amely definiál egy f (x1, x2) és n (f (n (x1), N (X2)). (Lásd. 2.4 táblázat)