monoton sorozatok
A szekvenciák a konvergencia-elmélet központi helyet foglal el az a kérdés, hogy létezik a határérték egy adott sorrendben. Itt fontosnak tartjuk, és viszonylag egyszerű osztályát szekvenciák, melyek ezt a problémát viszonylag egyszerűen.
Meghatározás 3.3. Sequence. . Ez az úgynevezett monoton növekvő, ha. vagyis ha minden. Sequence. . az úgynevezett szigorúan növekvő, ha minden egyenlőtlenség.
Hasonlóképpen, tudjuk meg, és szigorúan monoton csökkenő ubyvayuschuyuposledovatelnosti.
Növekvő és csökkenő szekvenciák úgynevezett monoton szekvenciákat.
Feladat 3.10. Bizonyítsuk be, hogy az összeg a két növekvő szekvenciák növeli.
Feladat 3.11. Bizonyítsuk be, hogy bármely nem negatív szekvencia ábrázolható összegeként két monoton sorozatok.
Feladat 3.12. Bizonyítsuk be, hogy minden monoton növekvő sorozat korlátos alább.
A kérdés tisztázása a konvergencia monoton sorozatok megfogalmazzuk, és bizonyítani a tétel alapvető fontosságú.
Tétel 3.6 (Weierstrass). Hagyja, hogy a szekvencia monoton növekvő és korlátos felett, akkor van véges határa.
Ha a sorrend monoton növekvő és korlátos felett, akkor konvergál.
Bizonyítás. Belátjuk a tétel esetében emelkedő sorrendben. Let. . korlátos felett. Ezután a beállított értékeinek ott van a legkisebb felső korlát :. Mi lesz bizonyítani.
A definíció szerint a legkisebb felső korlát, először egyáltalán. másrészt, mert minden szám van egy szám. hogy az egyenlőtlenség. Mivel a sorozat monoton nő, mindenki számára tartogat valamit. és ezáltal. azaz. Ebből következik, hogy. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Példa 3,15. Let =. . Meg fogjuk mutatni, hogy ez a sorozat konvergál. A binomiális tétel, megkapjuk:
Megjegyzendő, hogy az egyes távon növelheti a
hol. és ezen túlmenően, a hozzáadott további pozitív távon. ennélfogva <. то есть последовательность возрастает. Далее, каждая из скобок меньше единицы и для всех натуральных справедливо
Ezért minden
azaz a szekvencia korlátos felülről.
Szerint a Weierstrass-tétel szekvencia van egy határ. Ez a határérték jelzi:
Ebből következik, hogy ezek a becslések. Mi lehet bizonyítani, hogy e - irracionális szám, az elején a decimális bővítése formában van.
Egy másik alkalmazás tétel bizonyítása az állítás miatt Cantor.
Beágyazott időközönként. Legyen egy sorozata numerikus szegmensek
kinek. ha van ilyen. azaz, az egymást követő szegmenst tartalmaz az előző évben. Let - a szekvenciája Ezen szegmensek hossza nullához.
Ezután a végei ezeket a szegmenseket, és hajlamosak arra, hogy a közös határ:
amely egyetlen ponton tartozó összes szegmens.
Bizonyítás. Tekintsük a sorrendben. . A bal végén ezeket a szegmenseket. Ez egy monoton növekvő sorozat, amely szintén korlátos felett: az összes értéket. Jelöljük limit keresztül szekvenciák.
- monoton csökkenő és alulról korlátos szekvenciát. Írunk. Ettől. akkor. Minden. és így. A feltétel. Kapunk. Egyértelmű, hogy ez - egy pont tartozó összes szegmensben. A bizonyítás befejeződött.