Countability a racionális számok
4.6 *. Countability a racionális számokat. Uncountability valós számok
Összehasonlítása készletek fogalmát használva egy-egy levelezés.
5. meghatározása Két, elemei között, amely képes létrehozni egy az egyhez megfelelés (bijekciót) nevezzük equicardinal.
Megjegyzés. Ez könnyen ellenőrizhető, hogy ha X jelentése ekvipotenciális a beállított és a beállított Y. Y ekvipotens Z. majd állítsa X megegyezik a beállított Z.
Egy sor X azt mondják, hogy véges. ha létezik olyan n természetes szám (az elemek száma nevezett mnozhestvaX) között a több elem X és az elemek n -1, n> tud létrehozni egy az egyhez megfelelés.
Nyilvánvaló, hogy a két véges halmazok azonos számosságú akkor és csak akkor, ha. ha azok tartalmazzák az azonos számú elemet. Az üres halmaz definíció tekinthető véglegesnek. Készletek, amelyek nem véges hívják végtelen.
Íme néhány példa a végtelen halmazok equipotens.
Példák.
1. A sor páros pozitív egész szám megegyezik a készlet minden természetes számot. Valóban, a vonal n 2n. 1, 2. egy bijekciót a természetes számok halmaza N és több páros pozitív egész szám.
2. A készlet minden egész egyenértékű a természetes számok halmaza. Sőt, megfelelés
Ez egy bijekciót a természetes számok halmaza N és az egész számok Z.
3. Bármely két véges intervallumban (vagy szegmenst) a számegyenesen equipotens. Ha két az intervallum (a, b) és (c, d), a leképezés
egy bijekciót intervallumok (a, b) és (c, d) (rendre időközönként [a, b] és [c, d]).
4. A készlet minden valós számok R equipotens bármely véges számú vonal intervallumban. A definíció megfigyelések után az 5. és a 3. példa bizonyítja, hogy a valós számok halmaza az ekvipotenciális legalább egy intervallumot, így elegendő megjegyezni, hogy a funkció egy-egy levelezés között a pontok között az intervallum (-1,1) és a pontokat a teljes valós tengelyen.
Az 1., 2. és 4. mutatják, hogy abban az esetben, végtelen halmazok valódi részhalmaza végtelen halmaz lehet azonos hatásúak a teljes készlet.
5. Tegyük fel, hogy adott egy sor X. Bármilyen feltérképezése a természetes számok halmaza N sokaságát X. m. E. A leképezés az űrlap F. NX. Ez az úgynevezett elemek sorozatát X. Az elem f (n), nN. xn jelöli, és az úgynevezett N-edik tagja posledovatelnostif. NX. száma n - a számát. és az elem az f (n) X - értéke ezt a kifejezést.
Sequence f. NX is nevezzük xn> vagy Xn. n = 1, 2.
Megjegyezzük, hogy a kifejezés a szekvencia által adott érték és a számot. Ha n> m. majd tagja a szekvencia xn nevezzük tagja követően a tag xm. Sok tagjai a szekvencia ekvipotenciális a természetes számok halmaza, hiszen minden természetes szám felel meg a kifejezés a szekvencia és a különböző természetes számok megfelelnek a különböző tagjai a szekvenciák, amelyek eltérnek egymástól, legalább számokat. Így több szekvencia mindig végtelen, míg a beállított értékek a szekvencia, azaz. E. A beállított értékek az f függvény. NX (más szóval, egy részhalmaza X., amelyhez a kijelzés azt jelenti kijelzők több N f természetes számok) lehet egy véges halmaz, különösen, állhat egyetlen elem. Az utóbbi esetben, t. E. Amikor a szekvencia összes értékeinek elemében azonos, ez az úgynevezett stacionárius.
Definíció 6. A beállított equipotens természetes számok halmaza, az úgynevezett számolás.
A fenti példák 1., 2. és 5., hogy a készlet minden páros számok, egész számokat és minden tagja bármely szekvencia megszámlálható.
Legyen X - .. megszámlálható halmaz, azaz létezik egy bijektív leképezés (bijekciót) a természetes számok halmaza N sokaságába elem X. X. szett felel ez a leképezés, az n szám. jelölésére, mint abban az esetben egy szekvencia, xn és n számát a számát. Ezért azt mondhatjuk, hogy a halmaz megszámlálható, ha annak elemei sorolható természetes számokkal. Különbség meghatározása megszámlálható halmaz szekvenciák áll az a tény, hogy abban az esetben a leképezési szekvenciát a természetes számok halmaza nem kell bijektív: nem kizárt az esetben, ha a különböző természetes számok kerülne sor egy és ugyanaz az elem. Ebből következik, hogy a beállított értékek a szekvencia véges vagy megszámlálható, t. E. Mint mondják, nem több, mint megszámlálható.
Lemma1. Bármilyen végtelen halmaz megszámlálható végtelen részhalmaza.
Legyen X - végtelen számú; akkor minden esetben nem üres, azaz a. e. létezik legalább egy elem jelöli x1. Mivel több X végtelen, a több X \ x1> szintén üres, azaz a. E. tartalmaz legalább egy elemét jelöli x2. Folytatva ezt a folyamatot, az n-edik lépésben megkapjuk xn elemet. Mivel X - végtelen számú, akkor az X halmaz \ x1, x2. xn> nem üres, azaz. e. tartalmaz legalább egy elemet jelöljük xn + 1 és t. d. A készlet x1, x2. xn> -. szükséges megszámlálható részhalmaza X
2. Lemma Bármely végtelen részhalmaza megszámlálható halmaza megszámlálható.
Legyen X - megszámlálható halmaz X = x1, x2. xn.> és YX. Y1 jelöli az elem a Y., amelynek a legkisebb számot X. keresztül y2 - egy elem, amelynek a következő legközelebbi Y. száma, stb Mivel minden eleme Y egy eleme a beállított X xn, és ezért az a szám n ... majd azt követően egy véges számú lépés (nem több, mint n) kap egy bizonyos számú m, és a beállított Y. t. e. lesz említett ym. ahol, mint a több Y végtelenségig, ez a folyamat lehet határozatlan ideig. Így minden elemét Y lesz felsorolva, mint olyan eszközt a több megszámlálható.
Tétel. A készlet minden racionális számok megszámlálható.
Rendezzük az összes racionális számokat tartalmazó táblázat végtelen számú sorok és oszlopok, az alábbiak szerint (lásd a táblázatot).
Itt, az N-edik sorban elhelyezett racionális számokat rögzített irreducibilis racionális frakciók egy nevező n és rendezve növekvő sorrendjében az abszolút értékeket, és közvetlenül utána az egyes pozitív szám, hogy vele szemben. Nyilvánvaló, hogy minden racionális szám néhány helyen a táblázatban.
Most a kapott felsorolni tételek szerint a következő táblázat, amelyben a számok a körök a megfelelő elemek, és a nyilak azt az irányt a számozás. Ennek eredményeként, az összes racionális számok vannak számozva, t. E. a racionális számokat Q megszámlálható.
A kérdés természetesen felmerül, hogy vannak megszámlálhatatlan halmaz, t. E. végtelen halmazok nem megszámlálható, a ha vannak, érdemes megépíteni egy példát megszámlálhatatlan halmaz.