A spektrális jellemző normál üzemben

Definíció. A lineáris operátor az úgynevezett normális. if.

Megjegyzés. Egységes és önadjungált lineáris operátorok speciális esetei normális operátorok.

Tétel. A spektrális jellemző normál üzemben. Annak érdekében, hogy egy ortonormáiis bázis, ahol a lineáris üzemben csökken átlós formában van, akkor szükséges és elégséges.

Szükségszerűség. Hagyja néhány ortonormális alapján a mátrix az üzemeltető A diagonális. mert ortonormált bázis, az üzemeltető mátrix (átültetés konjugáció). Következésképpen ,.

Megfelelősége. Let. Megmutatjuk, hogy az üzemeltetők egy, és van egy közös jellemzője vektor:

Lineáris hajótest lesz egy egydimenziós invariáns altér, és szintén invariáns altér. Mi ennek bizonyítására:

Let. Azt is tartozik. mert . Tekintsük most az intézkedés az üzemeltető A () ... Folytatva ezt a folyamatot, megkapjuk ortogonális bázisa sajátvektorok, mi normalizálni - normalizálódott.

Definíció. Ez az úgynevezett üzemeltetője egyszerű felépítésű. ha A-nak n lineárisan független sajátvektor.

Tétel. A kritérium egyszerűsége lineáris operátor szerkezete. A lineáris operátor egy egyszerű szerkezetű, szükséges és elégséges, hogy bármely gyökere a karakterisztikus egyenlet multiplicitás rangot.

Szükségszerűség. A - az üzemeltető az egyszerű szerkezet. Következésképpen létezik n lineárisan független vektor, kiválasztja, hogy az alapját az L, azt kapjuk, hogy a mátrix a lineáris operátor a bázis jelentése :. És azok között lehet azonos. Ha A jelentése a mátrix egy lineáris szereplő néhány önkényes alapon. akkor. ahol F - az átmenet mátrix alapján sajátvektorok e, hogy a bázis f. Ezért. azaz és hasonló és azonos értékű. . száma nem nulla diagonális elemei, azaz a Között a karakterisztikus egyenlet gyökerek egyenlőtlen. így .

Megfelelősége. Let - különböző sajátértékei A. A sajátvektorok megfelelő sajátérték. alkotnak altér dimenziója L. Ennélfogva, a lineáris operátor Egy olyan lineárisan független sajátvektor megfelelő sajátérték. így mi sajátvektor. Megmutatjuk, hogy lineárisan független összefüggésben (éppen ellenkezőleg). Tegyük fel, ez nem így van, és az enyészpont a lineáris kombináció lehetséges, nem nulla együtthatókká. Ezért hagyja. Bemutatunk egy lineáris operátor.

Elegendő kritériuma az üzemeltető számára egyszerű szerkezet. Bizonyítsuk be, hogy minden lineáris operátor valós térben van egy egydimenziós (kétdimenziós) invariáns altér.

Tétel. Elegendő kritériuma az üzemeltető számára egyszerű szerkezet. Ha minden a gyökerek a karakterisztikus egyenlet különböző, a lineáris operátor egy egyszerű szerkezetű.

Bizonyítás. Let. Megmutatjuk, hogy a rendszer lineárisan független: (1). Ez hatással lesz a lineáris operátor. (2). Hatással lenne (2) lineáris operátor. (3). Folytatva ezt az eljárást, amíg megkapjuk a kezelő (4). Vegyük észre, hogy (4) - az alkalmazásának eredményeként az üzemeltető az eredeti egyenletet. Tól (4). Ha az eredeti egyenletet kell alkalmazni az üzemeltető bizonyítani tudja, hogy. Általában a megfelelő választás az üzemeltető lehet elérni minden. Következésképpen - lineárisan független, és az A - operátor egyszerű szerkezet.

1. Tétel Minden lineáris operátor valós térben van egy egydimenziós (kétdimenziós) invariáns altér.

Bizonyítás. Úgy döntünk, egy lineáris tér X alapon. Ebben az alapon a lineáris operátor A megegyezik a mátrix. átalakítja koordinátákat koordinátákat. Tekintsük az állapot a koordináta formájában:

Ezután egy nem nulla oldatával (1) létezik, ha (2). És hagyja, hogy a - a gyökér a (2) egyenlet. Vannak két esetben:

1) - valós, akkor van egy megoldás a rendszer (1). meghatározó sajátvektor koordinátái x. x invariáns generál dimenziós térben;

- komplex (). Let - egy megoldás a rendszer (1). Behelyettesítve ezeket a számokat (1), majd elválasztjuk a valós és a képzetes rész.
(3).
Feltesszük - koordinátáit egy x vektor, és - y koordináták, majd (4). (4) egyenlet azt jelenti, hogy a lineáris span egy kétdimenziós altér invariáns képest az üzemeltető.