rangot
6.1. Rank mátrix. Térjünk vissza a mátrixok. Tekintsünk egy méretű mátrix x. Meg lehet tekinteni, mint egy sor hosszú sorok. azaz vektorhalmaz térből R n.
Definíció. A rangsorban a sorok a mátrix a rangot a rendszer sorok.
Rendeltetése: vagy Rg (A).
Másrészt, a mátrix lehet tekinteni, mint egy gyűjtemény oszlopok magasságát. azaz több vektort az űrből R m.
Definíció. A rangsorban a mátrix oszlopai a rangsorban az oszlop rendszert.
Kulcs: RB, vagy (A).
Mielőtt ennek bizonyítására tétel, megfogalmazzuk, és bizonyítani a lemma.
Lemma. Elemi transzformációk nem változtatják meg a rangsorban a sorok vagy oszlopok rangot.
Bizonyítás. A). Legyen az előállított mátrix mátrix alkalmazása egy elemi transzformáció I. típusú Egyenlő Rg () = Rg (A) nyilvánvaló, hiszen a sorrendben a sorok nem befolyásolja a lineáris összefüggés. Tegyük fel most, hogy a mátrix nyert a mátrix alkalmazása egy elemi transzformáció II típusú :. Helyezett sorok szerint növelheti, ha - a maximális lineárisan független rendszer húrok,
azaz Egy új sor lineárisan expresszálódik keresztül ugyanazt a rendszert a lineárisan független sorok. Ennélfogva, Rg () Rg (A). Megjegyezzük, hogy az inverz transzformációt is elemi transzformáció II típusú :. Rg és így (A) Rg (). Ezért Rg () = Rg (A).
B). Nézzük a rangot az oszlopok. Hagyja néhány oszlop rendszer lineárisan függ:
A számok az oldatot egy lineáris egyenletrendszer egy mátrixot oszlopok. De elemi mátrix nem változik a sor megoldást a rendszer lineáris egyenletek, így egy pár számot egy olyan megoldás, a lineáris egyenletek álló mátrix oszlopai. Ez azt jelenti, hogy ezek az oszlopok transzformáció után lineárisan függő, és az új oszlopok lineárisan független rendszer nem jelenik meg, és a RB () RB (A). Azonban, mivel az inverz transzformációt is elemi transzformáció, RB (A) R B (). Ennélfogva, RB () = RB (A). A bizonyítás befejeződött.
Most folytassa a igazolást a tétel a rangot egy mátrix.
Az igazolást a tétel. Megjegyezzük, hogy az alkalmazásával elemi transzformációk, tudjuk csökkenteni a mátrix lépcső formájában:
Oszlopokat. megfelelő lépéseket a (a szám) lineárisan független. A következőkben bemutatjuk, tegyük fel, ellenkezőleg: legyen
Mivel ez a rendszer, hogy megoldja az utolsó egyenletet, azt találjuk, hogy pl triviális lineáris kombinációja. Ennélfogva, RB (). Másrészt, a mátrix oszlopait tekinthető elemek a tér R R ( «elvágva” az utolsó nulla elemek), úgy, hogy RB (). Ennélfogva, RB ().
Nézzük szálakat. Lineárisan függetlenek, mert az egyenlőség azt jelenti,
Megoldásában egyenletrendszer egymás, és mivel. kapjuk: Ezek tehát lineárisan független, és Rg (). Másrészt, a vektorhalmaz nem lehet magasabb pozíciójú. Azonban Rg () =. Tehát Rg () RB = () =. Ez azt bizonyítja, a tétel.
6.2. Alapvető Minor. Rank mátrix lehet különbözőképpen számítják. Emlékezzünk vissza, hogy egy kisebb egy kicsit általánosító ezt a koncepciót. Vegye nem az egész mátrix, és csak azokat az elemeket, hogy hazugság találkozásánál néhány a sorok és oszlopok:
A determinánsa mátrix, és azt mondják, hogy kisebb. A sorok száma (oszlopok) nevezik a sorrendben a kisebb kisebb.
Ha a mátrix tartalmaz legalább egy nem nulla elemet, akkor van egy nem nulla kisebb a sorrendben 1. Nyilvánvaló, hogy a méret a mátrix x a maximális sorrendben a kisebb.
Hagyja, hogy a mátrix van egy nulla kisebb a rend és a kiskorú rend 0. Egy ilyen kisebb - a legnagyobb rend - hívásonkénti alapon.
Definíció. Kiindulási kisebb részére nulla kisebb maximális sorrendben.
Tétel (kb bázis minor) .Poryadok alapján kisebb egyenlő a rangot mátrix.
Bizonyítás. 1). Megmutatjuk, hogy ha a kiskorú nem nulla, akkor a sorok lineárisan függetlenek. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyenek ezek a sorok lineárisan függő, azaz, az egyik sort, például lineáris kombinációja a többiek:
Ezután egy moll kivonni az utolsó sorban ennek lineáris kombinációja sorok - kapunk egy üres karakterlánc. A tulajdonságait meghatározó, megkapjuk a elmosódása ez kisebb.
2). Megmutatjuk, hogy ha a kisebb bázis, akkor az összes sor lineárisan kifejezésre. Forma meghatározója sorrendben. hozzátéve, hogy a sorok másik vonal - a számot. az oszlopok - egy oszlop - a szám:
Meghatározója ez a mátrix nullával egyenlő, ha azonos a számok egyikét vagy szám megegyezik az egyik a számokat, akkor kap egy mátrix azonos sorok vagy oszlopok. Ha sem. sem nem esnek egybe a számok a sorok és oszlopok, illetve a meghatározó nulla definíció alapján csekély.
Bővítjük a meghatározó mentén az utolsó oszlop:
De - ez az alap kisebb! ennélfogva
Észrevéve hogy kofaktorok nem függ (és csak az alapján kisebb elemeket, és az i-edik sorban), azt kapjuk, hogy dik sora van kifejezve lineárisan vezetéken keresztül is az alap kisebb.
Összefoglalni. Azt találtuk, hogy a húr tartalmazza az alap kisebb, lineárisan független, és az összes többi sor lineárisan kifejezve rajtuk keresztül. Ezért, ezeket a sorokat alkotnak maximális lineárisan független rendszer egy több sor a mátrix, és a szám - azaz a megrendelése alapján minor - egyenlő rangra a mátrixban. Ez azt bizonyítja, a tétel.
6.3. Kronecker - Kapelli.Sistema lineáris egyenletek konzisztens, ha, és csak akkor, ha a rangot a mátrix a rendszer megegyezik a rangot a kiegészített mátrix a rendszer.
Bizonyítás. 1). Adott egy egyenletrendszert
Tegyük fel, hogy kompatibilis, és állítsa be a szám - a megoldás. de aztán
(Megjegyzés - edik oszlopa a mátrix). Más szóval, az oszlopot lineárisan kifejezve az oszlopok az eredeti mátrix, és így az oszlop rangot a rendszer megfelel a rangot rendszer. azaz rang a mátrix megegyezik a rangot a mátrix bővült.
2). Tudnotok kell, hogy a rang egyenlő rangra kiegészített mátrix.
Ezután a maximális lineárisan független rendszer oszlopok lesz egy maximális lineárisan független rendszer oszlopainak kiegészített mátrix. és oszlop lineáris kombinációja a mátrix oszlopait:
De aztán a számok halmaza a megoldást az eredeti rendszer, azaz A rendszer következetes. Ez azt bizonyítja, a tétel.