lineáris algebra
5.2. A sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor
5.3. adjoint üzemben
Definíció. Legyen A - lineáris szereplő R n. A számot hívják sajátérték, és egy nem nulla vektor - a megfelelő sajátvektor egy lineáris operátor A., amennyiben azok.
példák- Zero operátor. Ie - nulla sajátérték az üzemeltető, és a sajátvektor - minden nem nulla vektorok R n.
- Az azonosság (identitás) operatorI - azaz sajátérték az identitás operátor, és sajátvektorai - minden nem nulla vektorok prostransvo R n.
- Operator P2- tér vetülete üzemeltető rá a altér R 3 R 2 párhuzamosan a vektor: vagyis - sajátérték, tervezés, és a megfelelő sajátvektor - minden nem nulla vektorok R 3. harmadik koordináta nullával egyenlő :.
Legyen A - egy mátrix alapját R n. Ezután a sajátértékek és az oszlop vektor koordinátáit megfelelő sajátvektor igaz:
Ie sajátértékek és a megfelelő sajátvektor összefügg. ahol E - identitás mátrix, és - a nulla vektor R n.
Ez azt jelenti, hogy a sajátvektor egy nem triviális megoldás a lineáris homogén rendszerben. A homogén rendszer egy nem nulla megoldás, ha, és csak akkor, ha a meghatározója a rendszer nulla. Ennek következtében az egyik sajátértéke A akkor és csak akkor, ha. A sajátértékei a lineáris üzemben lehet kiszámítani a gyökerei az egyenlet, és a sajátvektorok -, mint a megoldások a megfelelő homogén rendszerek.
Definíció. Polinom az úgynevezett karakterisztikus polinomja a kezelő, és az egyenlet - üzemeltető karakterisztikus egyenlet.
példák- Zero operátor. Matrix üzemeltető nulla - nullmátrix megfelelő sorrendben, azaz a azaz - csak a nulla sajátérték az üzemeltető, és a megfelelő sajátvektorok - minden nem nulla vektorok R n.
- Identity (azonosság) operatorI: azonosító mátrix operátor - az identitás mátrix megfelelő sorrendben, azaz a azaz - az egyedi sajátérték az identitás operátor, és a megfelelő sajátvektorok - minden nem nulla vektorok R n.
- Operator P2- tér vetülete üzemeltető rá a altér R 3 R 2 párhuzamos vektorok, akkor az identitás mátrix operátor - az identitás mátrix megfelelő sorrendben, azaz a azaz és - a sajátértékek. Keressük sootvtetstvuyuschie sajátvektor. Tegyük fel, akkor a megfelelő sajátvektorok - vagyis a nem-zéró oldatot a rendszer
- sajátvektor megfelelő sajátérték, és így az összes vektor a formában - a sajátvektorok megfelelő sajátérték.
Most tételezzük fel, míg a megfelelő sajátvektorok - azaz nem nulla megoldás a rendszer
- lineárisan független vektor, amely az ingatlan a kezelő megfelelő vektorok a sajátérték, és így az összes vektor a formában - a sajátvektorok megfelelő sajátérték.
4.Operator forgása teret U j R j 2 egy szöget zár be a származási óramutató járásával ellentétes :.
A mátrix, akkor
A karakterisztikus egyenlet csak egy gyökér és ,. Ha, és ez megfelelő sajátvektorok - minden nem nulla vektorok R2.
Ha - forgás üzemeltető nem sajátvektor.
És végül, mikor, és a forgatás üzemeltető az identitás operátor, sajátértékek és vektorok, amelyeket a fent kiszámított.
A sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor a következő állítások igazak:
1) a karakterisztikus polinom szereplő R n jelentése a polinom n-ed-fokú és viszonylag független a választott alapon;
2) lineáris operátor ható R n legfeljebb n sajátértékei különböző;
3) sajátvektorok megfelelő különböző sajátértékek lineárisan függetlenek.
Az utóbbi állítás egy előadás bizonyult.
Ha a lineáris üzemben ható R n. n elkülönülő sajátértékek, sajátvektorok alapját képezik az R n.
Definíció. Alapján álló sajátvektorok lineáris operátor nevezzük magánvállalkozó alapon.
Ha ha - saját alapján az üzemeltető A. Ezután, mivel a mátrix opreatora az ezen az alapon - a diagonális mátrix sajátértékei az átló mentén.
Nyilvánvaló, hogy a következő tétel.
Tétel. lineáris operátor mátrix diagonális formája akkor és csak akkor, ha meg van írva alapján kialakított sajátvektorok.
A tétel bizonyítása az előadások.
Emlékezzünk, hogy a térben R n van meghatározva egy belső terméket vektorok:
Definíció. Ha létezik egy B üzemeltető, amely érvényes minden, és az R n. akkor az üzemben a B a csatlakozómodulok A és jelöli A *:
Példa. Tekintsük az üzemeltető fordult helyet U j R j 2 képest szögben, hogy a származási ellentétes irányban:
Ie üzemeltető adjoint üzemeltető fordult teret R2 szögben j tekintetében a származási óramutató járásával ellentétes - R 2 térben keresztül elforgatási szöge az üzemeltető - j képest a származási az óramutató járásával ellentétes.
Matrix szereplők forgatás szöge és j - j van, illetve a:
Tétel. Ha A - lineáris szereplő R NAND A - a mátrix bizonyos ortonormáiis bázis, az üzemben tartó rendelkezik adjoint operátor és a mátrix a csatlakozómodulok szereplő ugyanazon az alapon - a mátrix T.
Ez azt bizonyítja, a tétel egy előadás.
Ez könnyen igazolható (egy előadás néhány tulajdonság alkalmasnak bizonyult) a következő tulajdonságai adjoint üzemeltetője:- hogy kapcsolt lineáris operátor - lineáris operátor;
- A karakterisztikus polinomja az üzemeltető és ugyanaz.
Definíció. Ha érvényes és bármely R n. akkor az üzemeltető önadjungált operátor.
Meg lehet mutatni (az előadás nem bizonyított), hogy az önadjungált operátornak saját ortonormált bázis.
Mivel A = A *, akkor a mátrix csatlakozómodulok üzemeltető - szimmetrikus mátrix.
A megelőző kifejtését követi a következő algoritmust működtető lineáris operátor mátrix a diagonális formája (ha a mátrix üzemeltető lehet csökkenteni átlós formában). Ez az algoritmus soostoit az alábbiak szerint:- rekord mátrix üzemeltető az eredeti alapján;
- Írunk a karakterisztikus egyenlet és kiszámítja a gyökerei (megtalálják a sajátértékei az üzemeltető);
- megtalálni a megfelelő alapja az üzemeltető (ha van ilyen);
- Írunk a diagonális mátrix formájában - diagonális mátrix sajátértékei az átlós.
- Írunk C mátrix, amelynek oszlopai sajátvektorait koordinátákkal (Vektorok a eigenbasis);
- képletű C -1 AC diagonális formájában lelet szereplő mátrix - mátrix operátor eigenbasis.