Kompatibilitási feltétel Slough
Megállapítása következetes, hogy a lineáris egyenletrendszer Kronecker-Capelli tétel gyakran gyorsabb, mint a Gauss módszer. ha azt szeretné, hogy következetesen kizárja ismeretlen. Ez a tétel alapja a használata mátrix rangját.
Kronecker-Capelli tétele kompatibilitási sistemy.Sistema lineáris algebrai egyenletek konzisztens, ha, és csak akkor, ha a rangot a mátrix E rendszer megegyezik a rangot annak kiegészített mátrix, vagyis a.
Itt mátrix (mátrix rendszer) - van álló mátrix együtthatók az ismeretlenek:
Másfelől, a B mátrix (kiterjesztett mátrix) - az előállított mátrix hozzáadásával az oszlop mátrixa rendszer szabad kifejezések:
A soraiban a mátrixok kapcsolatos a következő egyenlőtlenség, ahol a rangot a B mátrix lehet, hogy csak az egyik nagyobb, mint a rangot a mátrix A.
A vizsgálat Kronecker-Capelli e döntéseket. Tegyük fel, hogy egy rendszer az M lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel állapota kompatibilitást, azaz, a rangot a mátrix együtthatók a rendszer megegyezik a rangot a bővített mátrix. Aztán a következő igaz.
- Ha a rang megegyezik az ismeretlenek száma (), a rendszer egy egyedi megoldás.
- Ha a rangsorban a rendszer kevesebb, mint az ismeretlenek száma (), a rendszer végtelen sok megoldást, nevezetesen bizonyos n - r ismeretlen adható semmilyen értéket, míg a fennmaradó ismeretlenek r már meghatározott egyedi módon.
Ha a rangsorban a lineáris egyenletrendszer egyenlő a számú egyenlet, vagyis a rendszer kompatibilis minden szabad feltételeket. Ebben az esetben, a rangot a kiegészített mátrix is egyenlő m. mivel a rang nem lehet nagyobb, mint a számát a sorok.
A tétel bizonyításában Kronecker-Capelli explicit formulák kapunk a megoldások (esetében a konzisztenciáját). Ha már tudjuk, hogy a rendszer konzisztens, akkor, hogy megtalálja a megfelelő megoldást kell tennie:
1) keresse meg a rendszer mátrix rang nemnulla kisebb érdekében egyenlő a rangot a mátrix rendszer, azaz a rank R;
2) dobja el ezeket egyenletek, amelyek megfelelnek a mátrix sorai a A. kívül kisebb;
3) a kifejezéseket az együtthatók, nem, menj a jobb oldalon, majd így az ismeretlen, a jobb oldali részén, az önkényes által meghatározott értékeket Cramer szabály ismeretlen maradt r r a egyenletrendszer egy nulla meghatározó.
1. példa Követve Kronecker-Capelli tétel, meghatározza, hogy a következetes egyenletrendszer
Ha a rendszer konzisztens, akkor oldja meg.
Határozat. Kiszámítjuk a rangját a mátrix rendszer, és a rangot a kibővített mátrix. Mindkét esetben az egyenlő 3. Ezért a lineáris egyenletrendszer konzisztens. Mivel a rangot a rendszer kevesebb, mint az ismeretlenek száma, a rendszer végtelen sok megoldást: az egyik ismeretlen lehet tetszőlegesen választhatjuk. kisebb
Ez eltér a nullától, így az utolsó egyenletet és elutasítja ismeretlen tulajdonított semmilyen értéket.
A fennmaradó ismeretlen a rendszer által meghatározott
Megoldása az utóbbi rendszer a Cramer szabály ilyen vagy olyan módon, azt látjuk,
Csatolása ide, megkapjuk az összes megoldást a rendszer lineáris egyenletek.
2. példa Követve Kronecker-Capelli tétel, meghatározza, hogy a következetes egyenletrendszer
Ha a rendszer konzisztens, akkor oldja meg.
Határozat. Kiszámítjuk a rangját a mátrix a rendszer:
Következésképpen a rangot a rendszer továbbfejlesztett 3. Adjuk rank mátrix:
Ez azt jelenti, hogy a rangot a kibővített mátrix is egyenlő 3. Ezért a rendszer koherenciáját, valamint az ismeretlenek száma is megegyezik a rangját a mátrix rendszer, van egy egyedülálló megoldás. Megoldásokat használhatják az első három egyenlet:
Megoldása az utóbbi rendszer a Cramer szabály, azt látjuk,