abszolút stabilitás
§ 7.10. abszolút stabilitás
Tekintsük szabad mozgást egy rendszer, amely egy lineáris részt és egy nemlineáris átviteli függvénye negatív visszacsatolás jellemző (ábra. 7,39). Az egyenletek erre áramkör felírható
Az egyenletek lineáris része a rögzített kép a Laplace változó. Feltételek kivetett funkció azt jelenti, hogy a rendszer egyensúlyi: a pár egy triviális megoldás, differenciálegyenletek (7,52). Meg fogjuk vizsgálni a feltételeket a stabilitást az egyensúlyi állapot, azaz a. E. A stabilitás a triviális megoldás.
Egyenlet (7.52) is írt az állapotváltozók:
ahol x - n-dimenziós állapot vektor; - állandó mátrix; a - állandó vektort; b - állandó vektort. Között az átviteli függvény és az együtthatók a (7,53) van kapcsolat
ahol E - az identitás mátrix. Az átviteli funkció a egyenlet (7,53) általában egyenlő az arány polinomok:
ahol a polinom foka egyenlő a számát állapotváltozók a polinomfok közötti egyenlőség az állapotváltozók jelentősen - ez azt jelenti, hogy az átviteli függvény a nem-degenerált, azaz nem kell azonos formában tényezők értelmében ezt a feltételt, a rendszer (7,53) teljesen szabályozható és egyenértékű a rendszer (7,52) ... fokú polinom általában azonos, de néhány az együtthatók A mátrix kisebb lehet, le nullára. Ha az állam egyenletek formájában
ahol - egy nem nulla konstans szám, a mértéke fokozat
Fontos jellemzője a teljes stabilitás elmélet nemlineáris rendszerek említett típus az, hogy nem tekinthető bizonyos típusú funkciók (pl. E. Nem egy parabola, és a kitevő m. P.) és a műveleti osztályok, amelyek megfelelnek az egyik vagy a másik korlátozás. Ha a pozíciót egyensúlyi a rendszer (7,53), vagy (7,55) aszimptotikusan stabil általában bármilyen nem-lineáris függvénye az adott osztály, akkor azt mondják, hogy teljesen stabil ebben az osztályban. Tekintsük az osztály műveleteit kielégíti az ágazati korlátozásokat. Azok jellemzőit megépítésük
síkok egymásra egy szögszakaszon által képzett két sor:
Körülbelül ilyen nemlinearitásnak mondják tartozik egy osztály, vagy, hogy tartoznak a szektor a nem lineáris az osztály által meghatározott alábbi feltétel:
Ez a feltétel ekvivalens az egyenlőtlenség
A bal oldali egy kvadratikus alak a valós változók és kb. Nyilvánvaló, hogy a feltétel (7,56) egy speciális esete egy általánosabb feltételek
ahol - tetszőleges négyzetes forma reálváltozók. Ha a jellemző kielégíti az egyenlőtlenséget vagy pár (7,57), azt mondjuk, hogy az megfelel a helyi kapcsolat a forma Együtt az osztály nemlinearitást által meghatározott helyi kommunikációs, úgy az osztály a nem-lineáris jellemzők, amelynek része szerves kötéssel.
Azt mondjuk, hogy eleget tesz a jellemző szerves kapcsolat a forma, és ha van egy számsor, hogy az egyenlőtlenséget
t. e. követeljük, hogy az integrál kérik növekvő negatív végtelenhez. [11]
Amikor a helyi kapcsolat elégedett és szerves kötés azonos alakú. Az ellenkezője az állítás nem érvényes. Vannak olyan funkciók kielégítése szerves kapcsolat, de nem felelnek meg a helyi kapcsolatot azonos alakú.
Végül megjegyezzük, hogy a meghatározó nemlineáris osztály korlátozhatók nemcsak,
hanem a származékos Ezért, amikor az ilyen korlátozásokat vezettek be, figyelembe kell venni, mivel a kvadratikus formájában.
Megjegyezzük, néhány alosztályok.
Alosztály kielégíti feltételek
Alosztály - minden található csak az első és a harmadik negyedet a sík
Gyakorlati célokra, a legmegfelelőbb forma stabilitásának meghatározására a nem-lineáris rendszerek gyakorisága kritériumok, amelyet használnak a formájában az egyenleteket (7,52), és a frekvencia a lineáris része a frekvencia kritériumok készítmények szükség előzetes átalakítás kvadratikus formák a helyi és szerves kapcsolatot. Ez használ a fogalmak Hermitian formák és Hermitian bővítése.
Emlékezzünk vissza, hogy a Hermite formájában valós vagy komplex változó polinom
.. Ha A - hermitikus mátrix, azaz, a mátrix, amelyben az elemek vannak elrendezve képest szimmetrikusan a fő diagonális komplex konjugált számok, ahol a csillag jelöli a komplex konjugált, T - átültetés hermitikus formában csak valós értékeket: hermitikus formában komplex változó nevű Hermitian expanziós kvadratikus alak a valós változók, ha ezek a formák egyenlő.
Abban az esetben, amikor a kvadratikus alak képviseli, mint a termék két lineáris formák könnyen ellenőrizhető, hogy a mellék fogja képezni Hermitian
Nézzük a helyi vagy szerves kapcsolatára készítmény formájában gyakoriságára vonatkozó kritérium használjuk a következő átalakulás. Van Hermitian kiterjesztése alakú jel felett a változó jelzi, hogy tart komplex értékek.
Változókat lehet tekinteni, mint egy Laplace kép változók is. Amikor egyenlet alkalmazásával (cm. (7,52)), a c változó, és egy kiesik, majd az átviteli függvény a szubsztitúció. Az eredmény a frekvencia függvényében
Ebben az egyedi esetben, amikor képviseli, mint a termék két lineáris formákat, a) alapján, a (7,61), van
Találunk a frekvencia függvény nemlineáris alosztályok. A alosztálya (7,56) és a (7,62) kapjuk, vagy, mint a
Alosztály üzembe lett
Mert osztály (7,60), azt kapjuk,
Bemutatjuk a koncepció minimális stabilitást.
Ha az egyensúlyt a rendszerben (7,53) lesz stabil, legalább néhány jellemzője ennek az osztálynak, az egyensúlyi nevezzük minimálisan stabil
osztályban. Ha gyakorisága kritériumok általában kezdődik ellenőrzi a minimális stabilitást. Ez legegyszerűbben úgy valósítható lineáris rendszerek eredő rendszer (7,52) helyett az nemlineáris jellemző vonal tartozó azonos osztályba. A nemlinearitás az osztályban kijelölt azzal a feltétellel, a rendszer (7,53) a minimális stabil, ha a karakterisztikus polinomja zárt lineáris rendszer
kielégíti Gurvntsa vagy ha a mátrix az összes sajátérték balra a képzetes tengelynek.