előadás 12
Az ortogonális komplement altér L M
Let - euklideszi (egységes) tér, altér. A vektor neve merőleges a altér. ha minden.
A készlet minden vektor merőleges az altér az úgynevezett ortogonális kiegészítője, és jelezte.
Nyilvánvaló, M # 9524; Ez egy altér. ahol a dimenzió és a tér dimenziója altereinek kapcsolja össze
Sőt, válasszon egy alapot az altér. kiterjesztése alapján. Kapjuk. Ortogonaliziruem alapján Gram-Schmidt eljárás, megkapjuk: - alapján a teret,
- alapján altér. - ortogonális kiegészítője alapon.
Azt mondják, hogy a tér ortogonális direkt összege annak altér és.
Direkt összege altér
A tér közvetlen összege altér. ha
1. bármely vektor képviseli, mint a. ahol
2. Az ábrázolás egyedülálló.
Ha a tér euklideszi és a kiegészítő feltétel
ez egy direkt összege kölcsönösen ortogonális altér (ortogonális összeg), és jelöljük.
A vetítés a vektor a altér
Let - vektor euklideszi térben. lineáris span a vektorok a rendszer. altér. Annak érdekében, hogy megtalálják a merőleges vetülete a vektor az olyan lehangolt.
Mozgás a végén a párhuzamos altér úgy, hogy a kapott vektort vált ortogonális a altér. ezért
ahol a számokat úgy kell megválasztani, hogy
Az egyenletek rendszer
Ebből a rendszerből kapunk egy egyenletrendszert a számok
Döntés, mi található a merőleges vetülete a vektor. Az eredmény egy bomlási
Ebben az esetben a vektor hossza a legrövidebb távolság a vektor az altér és (miért nem?)
Az egyenletrendszer (*), hogy megtalálja a számokat nevezzük rendszer normális egyenletek. Figyeljük meg, hogy a rendszer mindig van megoldás, amelyből egyértelműen egy vektor. Azonban, ha a rendszer vektorok lineárisan függ, nem mi vagyunk az egyetlen megoldás a számokat. Ebben az esetben célszerű első építeni a alapján a altér. majd egy olyan rendszer felállítása a normális egyenletek segítségével talált alapon.
A távolság a pont a altér
A távolság a pont a altér van meghatározva infimum minden távon. ahol a pont
Tétel. Csak egy pontot. amelyekre
A vektor merőleges egyes vektorhoz.
Bizonyítás. Legyen egy pontot. hogy a vektor merőleges egyes vektorhoz. Vegyünk egy tetszőleges pontot. majd
Vector. mivel mindkét - altér. van
Ebből az egyenlőtlenség következik, hogy a kérdésben. az egyetlen pont, ahol a távolság. Megléte egy pontot. amelyhez a vektor merőleges egyes vektorok altér. azt már korábban bizonyított.