Matrix jelölési rendszer - studopediya
megoldása a rendszer egy rendezett halmaza számok, hogy cseréje után ismeretlen számokat, illetve minden egyenlete a rendszer konvertálja a megfelelő numerikus egyenlőséget.
A rendszer nevű együttes. ha van legalább egy megoldást.
Ha a rendszer nincs megoldás, akkor az úgynevezett ellentmondásos.
A közös rendszer neve biztos. ha van egy egyedülálló megoldás.
Ha a rendszer legalább két különböző megoldást, ez az úgynevezett határozatlan.
A rendszer homogénnek nevezzük. Ha a folyamatos szempontjából nulla. Ellenkező esetben a rendszer az úgynevezett heterogén.
Rendszerek lineáris egyenletek nevezzük egyenértékű. ha a sor megoldást ugyanaz, azaz minden olyan megoldás egy olyan rendszer egyidejűleg hozzáadjuk a másik, és fordítva. A kérdés az megoldhatóságának egy lineáris egyenletek általános formáját látható a következő tétel.
Kronecker-Kapelli.Sistema lineáris egyenletek konzisztens, ha, és csak akkor, ha a rangot a mátrix a rendszer megegyezik a rangot a kiegészített mátrix a rendszer.
A következetes rendszerek lineáris egyenletek már a következő tétel.
1. Ha a kombinált rendszer a rang megegyezik a változók száma, azaz a rendszer egy egyedi megoldás.
2. Ha a rangot ízületi mátrix rendszer kevesebb, mint a változók száma, azaz a rendszer nem definiált, és végtelen sok megoldás.
Let; úgynevezett magyarázó változók az elsődleges vagy alap. ha a meghatározó együtthatók őket (azaz az alapja minor) különbözik a nullától. A többi az úgynevezett nem-core vagy szabad.
Megoldás a rendszer, amelyben az összes nem-alapvető változók nullával egyenlő, az úgynevezett alap.
mert minden partíció változók az alapvető és nem alapvető megfelel egy alapvető megoldás, és a számos módon particionálás nem haladja meg a kombinációk száma, és a lúgos oldatot nincs több. Így a közös rendszer m lineáris egyenletrendszer n változók (azaz a A rendszer egyenértékű ez, akkor lehetséges, különösen, helyettesítve az egyik egyenletet az egyenletet szorozzuk bármely nem nulla szám. Egyenértékű rendszert úgy is előállíthatjuk, kicserélésével egyik egyenletek összege ez az egyenlet egy másik egyenletét a rendszer. Általában, a csere a rendszer az egyenlet egy lineáris kombinációja egyenletek ad egy olyan rendszer egyenértékű az eredeti. Ennek alapján ezek a tulajdonságok, az eredeti egyenletrendszert lehet alakítani: Itt az ismeretlen. az úgynevezett alapvető változókat. fennmaradó ismeretlen - szabad változók. Sami egyenlőség kifejező alapváltozók keresztül szabadon, az úgynevezett általános megoldás a rendszer. Megoldás a rendszer, amelyet azáltal meghatározott értékeinek szabad változók nevezzük egy adott megoldást a rendszer. Előfordulhat, hogy minden az ismeretlenek lesznek alapváltozók, akkor az egyenletrendszert egyedülálló megoldás: Amikor az oldat rendszerének három egyenlet Ez egy tiszta geometriai jelentése van. Mindegyik három egyenletet meghatároz egy síkot. A pontok helye metszési síkok a megoldás az egyenletek. Ha csak az egyik metszéspontja a repülőgépek, a rendszer határozza meg, hogy van egy egyedülálló megoldás. Ha mind a három sík metszi egy egyenes vonal mentén, a rendszer végtelen sok megoldást, bizonytalan. Ha két (vagy három) síkjával párhuzamos, a rendszernek nincs megoldás, ez ellentmondásos.
1. ábra A rendszer három lineáris egyenletek három változó határozza meg a készlet síkok. A metszéspont síkok a megoldás az egyenletek.
Példa. Gauss módszerrel megoldani egy lineáris egyenletrendszer:
Határozat. Követve Gauss, mi elvégezzük az átalakítást nem egyenletek magukat, és a szabad feltételeket és az együtthatók:
Megszorozzuk az első sorban az eredmény kívül nyert a második sorban vonalak életbe a második sorban. Szorozzuk az első sor és a hozzáadásával kapott eredményt a harmadik sorban, hogy helyezze a sor pozíciója a harmadik sorban. kapjuk:
A második sor megszorozzák 2 és add meg a harmadik sorban, szorozva az összeadás eredménye 5. léptettek életbe a harmadik sorban. kapjuk:
A harmadik sorban, és osszuk el a szétválás eredményeként elhagyja ugyanazon a helyen. Ezután a harmadik sor szorozva. add hozzá a második sorban, és tegye az eredmény mellett a második üléssor. Ezt követően, a harmadik sorban, szorozva. hozzá az első sorban, és tegyük a összeadás eredménye helyett az első sorban. kapjuk:
Második sor, és osszuk el az eredményt a választóvonal a szabadság ugyanazon a helyen. Ezután a második sorban szorozva. hozzá az első sorban, és tegyük a összeadás eredménye helyett az első sorban. Kapunk egy új sor ingyenes szempontjából, és az együtthatók a rendszer:
megfelel az alábbi egyenletrendszert:
Ebből következik, hogy
Ellenőrizze. Helyettesíti az értékeket találtak a bal oldali részén a kezdeti egyenletrendszer:
Az így kapott értékek összehasonlítani az értékeket a jobb oldalán az eredeti egyenletrendszer. A véletlen pont a helyességét a megoldás.
Válasz. A lineáris egyenletrendszer
Példa. Gauss módszerrel megoldani a rendszer három egyenletet négy ismeretlenes
Határozat. Követve Gauss, mi elvégezzük az átalakítást nem egyenletek magukat, és a szabad feltételeket és az együtthatók:
Először szaporodnak a vonalat. akkor az eredmény hozzáadás nyert a második sorban, hogy helyezze a sor pozíciója a második sor. Szorozzuk az első sor és a hozzáadásával kapott eredményt a harmadik sorban, hogy helyezze a sor pozíciója a harmadik sorban. kapjuk:
Az utolsó két sor ugyanaz volt. Ez azt jelenti, hogy a segítségével elemi transzformációk az eredeti egyenletrendszer lehetne átalakítani, hogy:
ahol a harmadik és a második egyenletet azonos. Ezért van értelme átalakítani a szabad feltételeket és együtthatók az első és a második egyenlet:
Második sor szaporodni. akkor az eredmény hozzáadjuk a kapott stringet az első sorban bevezetik az első sorban. kapjuk:
amely megfelel a rendszer a következő egyenletek:
Ebből az következik, hogy azok az alapvető változók. Képviseli őket:
A fennmaradó ismeretlen a szabad változók. Így a kiindulási egyenletrendszert van végtelen számú megoldást:
amely bármilyen értékű lehet az intervallumban.
Ellenőrizze. Helyettesíti az értékeket találtak a bal oldali részén a kezdeti egyenletrendszer:
Az így kapott értékek összehasonlítani az értékeket a jobb oldalán az eredeti egyenletrendszer. A véletlen pont a helyességét a megoldás.
Válasz. A lineáris egyenletrendszer
Ez végtelen sok megoldás:
amely bármilyen értékű lehet az intervallumban.
Példa. Gauss módszerrel megoldani a rendszer négy egyenletek öt ismeretlenes
Határozat. Követve Gauss, mi elvégezzük az átalakítást nem egyenletek magukat, és a szabad feltételeket és az együtthatók:
Add az első sorban a második sorban, az eredmény kívül vezetett be, a második sorban. Szorozzuk az első sor és a hozzáadásával kapott eredményt a harmadik sorban, hogy helyezze a sor pozíciója a harmadik sorban. kapjuk:
Az eredmény kívül a harmadik sorban a negyedik sorban életbe a negyedik sorban. kapjuk:
Ügyeljen arra, hogy a negyedik sorban, az értékeket, amelyek lehetővé teszik, hogy bemutassa az utolsó egyenlet a következő formában:
Megjegyzendő, hogy ez az egyenlet nem teljesül minden a változók értékeit, mint Következésképpen a rendszer kezdeti egyenletek nincs megoldás.
Válasz. A lineáris egyenletrendszer
Ez nincs megoldás.