Jellemző számok és vektorok
Bármilyen lineáris transzformációs mátrix Egy egyértelműen meghatározza az üzemeltető egy adott alapján a tér.
Nemnulla vektor neve a jellemző (saját) vektor négyzetes mátrix. tartozó saját értéke. ha átmegy az átalakítás után a vektorba, amelyet egy konstans tényező. azaz, ha
A numerikus tényezővel nevezzük jellegzetes gyökerek (sajátértékei) A mátrix az üzemeltető.
Bármely sajátvektor A mátrix tartozó sajátérték, és tetszőleges számú a vektor ez is egy sajátvektorának tartozó sajátérték.
Sok alkalmazott problémák a gazdaság csökken a probléma megtalálni a sajátértékek és sajátvektorok mátrixok.
Egyenlet (6.7) úgy reprezentálható, mint
A mátrixot az úgynevezett jellemző mátrixban.
Egy nem-triviális (nem nulla) oldatával (6,8) csak akkor áll fenn, ha a meghatározója a mátrix nulla jellemző:
Egyenlet (6.9) van a karakterisztikus egyenlet. Ha az A - mátrixa sorrendben. akkor a jellemző egyenlet algebrai egyenlet fokú N tekintetében:
Ez az egyenlet nem feltétlenül különböző n gyökerek és néhány közülük lehet komplex számok. Mindegyik megfelel a jellemző gyökerei a jellegzetes definiált vektor akár multiplikatív konstans.
6.2 példa. A karakterisztikus egyenlet a mátrix. Az egyenlet két gyökerei. . A jellegzetes vektorok és releváns. a vektor u. ahol a C - tetszőleges konstans. Tetszőleges állandók gyakran, kizárják bevezetésével a normalizált vektorok. Ebben a példában, a vektorok normalizált és.
Tulajdonságai jellemző gyökerek
1. A mennyisége a jellemző gyökerek a következő mátrix:
3. A termék jellegzetes gyökerek egyenlő a meghatározója a mátrix :.
4. Az száma nem nulla jellemző gyökerei a mátrix egybeesik a rangot ennek a mátrixnak.
5. A jellemző gyökerei az átlós a mátrix elemei a fő diagonális.
6. A szimmetrikus mátrixok összes n sajátérték valós számok.
Szerint a tétel a Cayley-Hamilton. A mátrix egy gyökere annak karakterisztikus egyenlet:
Tétel Hamilton-Keli.Pust karakterisztikus egyenlet a következő egyenletet a mátrix
Ezután az alábbi mátrix-egyenlettel
Bizonyos esetekben érdekes a probléma megtalálni a sajátvektorok tartozó sajátérték. Elégséges feltételei az ilyen önálló vektort következik az alábbi tétel.
Tétel az egység saját znachenii.Esli egy összegben az elemek az egyes oszlopok értéke 1, van egy sajátvektor tartozó sajátérték 1.
Sok kapcsolatos megállapítás a sajátvektorait alkalmazott problémák a gazdaság csak tájékoztató jellegűek, sajátvektor pozitív elemek. Feltételei az ilyen vektorok Frobenius tétel, Perron.
-Frobenius tétel Perrona.Pust A - nemnegatív négyzetes mátrix. majd:
1. A maximális modulusa sajátérték A mátrix nem negatív. Között a sajátvektorok tartoznak egy nem-negatív vektor.
2. Abban az esetben minden nem negatív sajátvektorait A pozitív és tartozik csak a maximális modulus sajátérték. Ezen kívül ebben az esetben bármely két pozitív sajátértékei és egymástól csak egy numerikus tényező, pl.
A problémák (6,1-6,3) vektorok által adott koordinátákat alapú G. Bizonyítsuk be, hogy a rendszer alapjául, és segítenek megtalálni a koordinátákat a vektor ezen az alapon.
A problémák (6.4) és (6.5) vektorok által adott koordinátáit egy bizonyos alapot. Azt kell bizonyítani, hogy a rendszer a vektorok és az is alapul. Find az átmenet mátrix alapján G a bázis.
Find egy ortonormáiis alapján sajátvektorok és egy mátrixot, ezen az alapon a lineáris operátor által meghatározott bizonyos ortonormáiis bázis mátrix A (kívánt alapján nem egyedi):