Irreducibilis tényezők körosztási polinom
Vegyünk két körosztási polinom ábrázolása: a termék nem csökkenthető tényezők:
a mező fölé az elemek - a felosztása mező:
Az első bomlás - polinomok redukálhatatlan a gyűrűben. A második - az összes tényezőt az első fokú, egy-egy nullától térelem. Összehasonlítva a reprezentációk (3) és (4) azt mutatja, hogy minden nem nulla eleme gyökere polinom.
Definíció. Hagyja, - a mező az elemek és. Polinom legkisebb mértékben. úgy, hogy. Ez az úgynevezett minimális polinom az elem.
Könnyen belátható, hogy a bomlás (3) mind nulla eleme minimális polinomok. A minimális polinom egyszerűen nulla.
Az alábbi tétel ad teljes leírását a szorzók a tágulási (3), és így a minimális polinomok véges mező elemei.
2. tétel irreducibilis polinom foka. () Egy osztó körosztási polinom
akkor és csak akkor, ha a részvényeket.
Így irreducibilis osztója körosztási polinom irreducibilis polinomok minden lehetséges minden fokozatot, amely osztója a számot.
Például, a (2) ábra egy bomlási körosztási polinom. . Ebben az esetben, a tétel, hogy a gyűrű tartalmaz egy irreducibilis polinom másodfokú polinom 3 és 4-es fokozatú, azok megjelennek (2).
két kiegészítő tények bizonyításához szükséges tétel.
1. Lemma A polinom osztója a polinom akkor és csak akkor, ha.
Ez a tény igaz polinomok bármely területén. Tény, hogy minden területen megvan a képlet
(Csak ki kell nyitni a zárójelbe a bal oldalon). Tegyük fel, hogy osztható. . Behelyettesítve a (5) kifejezés helyett. megkapjuk
Ha nem osztható. (). az
vagyis a polinom úgy kapjuk meg, a maradékot. nem egyenlő nullával, mint az.
Következmény. A szám osztója, akkor és csak akkor, ha.
Következik, képletek (6) és (7), amelyben ki kell cserélni.
A fentieket figyelembe véve, az expressziós jellemzői a területen, van bevezette a almezők - a készlet elemeket, amelyek maguk is egy mezőt műveletek tekintetében a környezeti területen, ha - mező jellemzők. ez tartalmazza az elsődleges részterület. amely szerepelni fog minden más részterület.
Lemma 2. Ha a - területén az elemek a - mezőrészébe elemek, akkor.
Bizonyítás. By 1. Tétel területén van egy olyan eleme, sorrendben. Mivel a másik kezét. érdekében elem van megosztani. A következmény lemma 1. ez csak úgy lehetséges, ha.
A tétel bizonyítása 2.
Let - irreducibilis polinom foka és oszt. Építünk, miután az általános építési módszerének mezők, mező. . Ez áll a 0 és elemek, amelyek a gyökerek a polinom. Ezért a polinomok és van egy közös gyökér. valamint a kiküszöbölhetetlen tényt. Ettől. akkor. Itt van.
Let - redukálhatatlan osztó polinom. Vegyünk néhány eleme a területen. A következménye 3. Tétel a primitív eleme a térelemek egy mező polinom bővítése. így az a gyökér. Field az elemmel együtt, és tartalmazza az összes mezőt. Így a mező () tartalmaz egy almező. elemekből álló. Lemma 2, ez csak úgy lehetséges, ha. Ez azt bizonyítja, a tétel.
ELŐADÁS 12
Egyediség véges mező. Száma nem csökkenthető polinomok